Пусть параллелепипед задан векторно: от некоторой вершины $O$ ребра заданы векторами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Тогда противоположная вершина равна $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$.
1) Пересечение пространственных диагоналей.
Каждая пространственная диагональ соединяет пару противоположных вершин; одна из них — $O$ и $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$. Её середина равна
$$\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}).$$ Возьмём другую диагональ, например между вершинами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}+\mathbf{c}$. Её середина
$$\frac{1}{2}(\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}))=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{M}.$$ Аналогично для остальных диагоналей. Следовательно все пространственные диагонали пересекаются в одной точке $\mathbf{M}$ и каждая диагональ делится этим пересечением пополам.
2) Диагональные сечения.
Под диагональным сечением обычно понимают сечение плоскостью, проходящей через две противоположные (скрещивающиеся) рёбра параллелепипеда. Рассмотрим плоскость, проходящую через рёбра $O-\mathbf{a}$ и $(\mathbf{b}+\mathbf{c})-(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$. Эта плоскость содержит точки $O,\mathbf{a},\mathbf{b}+\mathbf{c},\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$ и пересекает параллелепипед по параллелограмму с вершинами именно этими точками. Диагонали этого параллелограмма — отрезки $O$–$(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ и $\mathbf{a}$–$(\mathbf{b}+\mathbf{c})$; их середины обе равны $\mathbf{M}$. Поэтому любое диагональное сечение содержит точку $\mathbf{M}$, и обе диагонали сечения пересекаются и делятся в $\mathbf{M}$.
3) Центр симметрии.
Точка $\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$ является центром симметрии параллелепипеда: для любой точки внутри (или вершины) $\mathbf{X}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c}$ (с $0\le \alpha ,\beta ,\gamma \le 1$) её симметричная относительно $\mathbf{M}$ точка равна
$${\mathbf{X}}^{\prime }=2\mathbf{M}-\mathbf{X}=(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})-(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{c})=(1-\alpha )\mathbf{a}+(1-\beta )\mathbf{b}+(1-\gamma )\mathbf{c},$$ что снова принадлежит параллелепипеду. Для вершин это даёт соответствие каждой вершине противоположной. Уникальность: если бы существовал другой центр симметрии, то он должен был бы быть серединой хотя бы одной пространственной диагонали, но все они имеют одну общую середину $\mathbf{M}$, значит центр единственен.
Выводы (кратко): все пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке $\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$, любая диагональная сечение является параллелограммом, чьи диагонали пересекаются в $\mathbf{M}$ и делятся пополам, и точка $\mathbf{M}$ — единственный центр симметрии параллелепипеда.