Геометрическое место — окружность (окружность Аполлония). Для любых точек $A,B$ и $k\ne 1$ множество точек $X$, для которых $|XA|:|XB|=k$, является окружностью с центром на прямой $AB$ и радиусом, зависящими от $A,B,k$. В векторной форме (или рассматривая координаты точек) центр и радиус записываются как
$$C=\frac{k^{2}B-A}{k^2-1},r=\frac{k|AB|}{|k^2-1|}.$$
Свойства и обсуждение:
- Центр $C$ лежит на прямой $AB$ и является внешней точкой деления отрезка $AB$ в отношении $AC:CB=k^2:1$ (внешнее деление).
- Если $k>1$, то $|XA|=k|XB|>|XB|$, поэтому искомые точки ближе к $B$; центр $C$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точкой $B$.
- Если $k<1$, то $|XA|<|XB|$, точки ближе к $A$; центр $C$ лежит на продолжении прямой с другой стороны от $A$.
- Окружность не проходит через $A$ и $B$.
- Границы: при $k\to 1$ центр уходит на бесконечность и окружность вырождается в прямую — перпендикулярный биссектор отрезка $AB$ (случай $k=1$). При $k\to \infty$ окружность сходится к точке $B$ (радиус $\to 0$), при $k\to 0$ — к $A$.
Таким образом для $k\ne 1$ геометрическое место — окружность с указанными координатой центра и радиусом; различие между $k>1$ и $k<1$ — в том, по какую сторону от отрезка $AB$ находится её центр (и к какой из точек $A$ или $B$ точки $X$ ближе).