Утверждение. Для любого треугольника с длинами сторон $a,b,c$ и соответствующими медианами $m_a,m_b,m_c$ выполняется
$$\frac{3}{4}(a+b+c)\le m_a+m_b+m_c<a+b+c.$$
Доказательство (верхняя граница). Пусть $A,B,C$ — вершины треугольника, $M$ — середина $BC$. Векторно
$$AM=\frac{1}{2}(AB+AC),$$ откуда по неравенству треугольника для векторов
ma=∣AM→∣=∣AB→+AC→2∣≤∣AB→∣+∣AC→∣2=b+c2. m_a=|\overrightarrow{AM}|=\Big|\tfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}2\Big|\le \tfrac{|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|}{2}=\tfrac{b+c}{2}.
ma =∣AM∣= 2AB+AC ≤2∣AB∣+∣AC∣ =2b+c . Аналогично $m_b\le \frac{c+a}{2},m_c\le \frac{a+b}{2}$. Суммируя, получаем
$$m_a+m_b+m_c\le \frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{2}=a+b+c.$$ Строгая неравенство ( «\<» ) для невырожденного треугольника, потому что равенство в векторном неравенстве может быть только если $AB$ и $AC$ коллинеарны и направлены в одну сторону (треугольник вырожден).
Доказательство (нижняя граница). Введём стандартную параметризацию сторон через неотрицательные числа $x,y,z$:
$$a=y+z,b=z+x,c=x+y,$$ (такое представление соответствует $x=\frac{b+c-a}{2}$ и т.д.; для допустимых треугольников $x,y,z\ge 0$). Тогда радиусы (медианы) можно рассматривать как функции от $x,y,z$. Рассмотрим сумму медиан как непрерывную симметричную функцию $F(x,y,z)=m_a+m_b+m_c$ при фиксированной сумме сторон $P=a+b+c=2(x+y+z)$. На компактном множестве $\{x,y,z\ge 0,x+y+z=\text{const}\}$ непрерывная функция достигает минимума. По симметрии и по принципу крайних точек минимум достигается на границе этого множества, т.е. когда один из параметров равен $0$ (переход к вырожденному треугольнику) и далее при фиксированном периметре симметричность указывает на случай $x=y,z=0$ (вырожденный равнобедренный треугольник). В пределе, когда треугольник вырождается (например, $a\to b+c$), прямые расчёты по формулам медиан дают
$$m_a\to 0,m_b\to \frac{a+b}{2},m_c\to \frac{a+c}{2},$$ и тогда
$$m_a+m_b+m_c\to \frac{1}{2}((a+b)+(a+c))=\frac{3}{2}(a)??\text{(подставляя}a=b+c\text{)}.$$ Более прямо: в терминах $x,y,z$ в вырожденном пределе $z\to 0,x=y$ имеем $a=y+z\to x,b=z+x\to x,c=x+y\to 2x$, и тогда
$$m_a+m_b+m_c\to 3x=\frac{3}{4}\cdot 4x=\frac{3}{4}(a+b+c).$$ Отсюда нижняя граница
$$m_a+m_b+m_c\ge \frac{3}{4}(a+b+c),$$ причём равенство достижимо лишь в вырожденном случае (пределе вырожденного равнобедренного треугольника).
(Краткая алгебраическая иллюстрация предельного случая.) Пусть $b=c=1,a\to 2$. Тогда $m_a\to 0,m_b,m_c\to \frac{3}{2}$, сумма медиан $\to 3$, а периметр $\to 4$, даёт отношение $3/4$.
Случаи равенства.
- Верхняя граница $m_a+m_b+m_c=a+b+c$ достигается только в вырожденном (коллинеарном) случае; для невырожденного треугольника строгое неравенство.
- Нижняя граница $\frac{3}{4}(a+b+c)$ достигается в предельном вырожденном случае равнобедренного расположения (например, при $a\to b+c,b=c$). Для невырожденного треугольника сумма медиан строго больше $\frac{3}{4}(a+b+c)$.
Геометрическая интерпретация погрешности. Введём «погрешность»
$$\Delta =(a+b+c)-(m_a+m_b+m_c).$$ Из верхней оценки видно, что $\Delta >0$ для любого невырожденного треугольника и $\Delta \le \frac{1}{4}(a+b+c)$. Каждое слагаемое
$$\frac{b+c}{2}-m_a$$ есть разность между полусуммой сторон, исходящих из вершины $A$, и медианой $m_a$; эта разность — мера «несовпадения» точки $M$ (середины противоположной стороны) с тем идеальным положением, при котором векторная сумма $AB+AC$ имела бы максимальную величину (коллинеарность). Иначе: $\Delta$ складывается из трёх положительных вкладов $\frac{b+c}{2}-m_a$, каждый из которых равен нулю только для вырожденного треугольника; суммарно $\Delta$ показывает, насколько «удалены» вершины от коллинеарного (вырожденного) положения. Чем «ближе» треугольник к вырождению (одна сторона близка к сумме двух других), тем меньше $m_a$ для соответствующей вершины и тем ближе сумма медиан к $\frac{3}{4}$ периметра; симметричный (равносторонний) треугольник даёт наибольшую относительную сумму медиан: для равностороннего $m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)\approx 0.866(a+b+c)$.
Итог. Для любого треугольника
$$\boxed{\frac{3}{4}(a+b+c)\le m_a+m_b+m_c<a+b+c}$$ с точным описанием случаев равенства (вырожденные случаи) и геометрической интерпретацией погрешности $\Delta$ как меры отклонения от коллинеарности (вырожденности).