Коротко — алгоритм, формулы и оценка устойчивости.
1) Постановка. Под «взаимным расположением (углы между направлениями)» подразумеваем внутренние углы треугольника $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle BCA$. Эти углы задают треугольник с точностью до подобия (так как $\alpha +\beta +\gamma =\pi$).
2) Простейший конструктивный алгоритм (явный):
- Зафиксировать систему координат: $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ (это задаёт масштаб — подобие).
- Построить луч из $A$ под углом $\alpha$ к направлению $AB$. Его направляющий вектор $v_A=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$.
- Построить луч из $B$ под углом $\pi -\beta$ к направлению $BA$. Его направляющий вектор можно взять $v_B=(-\cos \beta ,\sin \beta )$ (при согласованной ориентации).
- Найти их пересечение: $C=A+t{v}_A=B+s{v}_B$. Решение даёт
$$t=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },C=(t\cos \alpha ,t\sin \alpha ).$$ (Это эквивалентно закону синусов: при $AB=1$ получаем $AC=t=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$.)
3) Альтернативы и реализация:
- Можно вместо $AB=1$ взять любой масштаб $s$ — умножить координаты на $s$.
- Если измеренные углы не точно суммируют до $\pi$ из‑за шумов, предварительно приведите их к сумме $\pi$, например по правилу
$\tilde{\alpha }=\alpha \frac{\pi }{\alpha +\beta +\gamma }$, и т.д., или лучше — выполнить проекцию в смысле наименьших квадратов (решение с ограничением $\alpha +\beta +\gamma =\pi$).
4) Устойчивость (приближённый анализ):
- Ключевая формула $t=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$. Для малых приращений $\Delta \beta ,\Delta \gamma$ имеем
$$\frac{\Delta t}{t}\approx \cot \beta \Delta \beta -\cot \gamma \Delta \gamma ,$$ и оценка
$$\frac{|\Delta t|}{t}\le |\cot \beta ||\Delta \beta |+|\cot \gamma ||\Delta \gamma |.$$ - Следствие: восстановление плохо обусловлено, когда $\sin \gamma$ или $\sin \beta$ малы (т.е. когда какой‑то угол треугольника близок к $0$ или к $\pi$). Физически это соответствует почти вырожденному (коллинеарному) треугольнику или очень острым углам — небольшая ошибка в угле даёт большой относительный сдвиг сторон и положения точек.
- Кроме того, координаты $C=(t\cos \alpha ,t\sin \alpha )$ чувствительны к ошибкам в $\alpha$: приращение координат примерно $dC\approx (-t\sin \alpha d\alpha ,t\cos \alpha d\alpha )$ плюс вклад от $\Delta t$. Значит ошибки углов превращаются в линейные с коэффициентом порядка $t$ и в относительные через $\Delta t/t$.
5) Практические рекомендации:
- Выбирайте базисную сторону (парную фиксацию точек) так, чтобы противоположный угол был не слишком мал (уменьшает факторы $|\cot |$).
- Если углы шумные, лучше оценивать треугольник методом наименьших квадратов (несимметричная нелинейная подгонка параметров координат $A,B,C$ под наблюдаемые направления) — итеративно (например Levenberg–Marquardt). Это даёт статистически оптимальный результат при заданной модели шумов.
- Оцените погрешности вывода с помощью линеаризации (якобиана) или бутстрэп/монте‑карло симуляций для конкретных уровней шумов.
Коротко: треугольник восстанавливается явно (см. формулы выше) и устойчивость определяется значениями $\sin$ и $\cot$ соответствующих углов — крайне неустойчивые случаи при близких к нулю углах; в практике используют выбор базиса и нелинейную подгонку для уменьшения ошибок.