Кратко о сути. Эвклидова геометрия изучает формы с сохранением расстояний и углов; аффинная геометрия — факт, что фигурa можно деформировать линейно и сдвинуть. Аффинное преобразование задаётся как
$$x\mapsto Ax+b,$$ где $A$ — невырожденная матрица ($\det A\ne 0$), $b$ — вектор переноса.
Какие свойства сохраняются при аффинных преобразованиях
- Прямые и плоскости: образ прямой — прямая; образ отрезка — отрезок. (коллинеарность)
- Параллельность: если линии параллельны, их образы тоже параллельны.
- Отношения деления отрезка: для трёх коллинеарных точек $A,B,X$ отношение длин на этой прямой сохраняется, т.е. $\frac{AX}{XB}$ сохраняется (включая точки, делящие отрезок в заданном отношении).
- Барицентрические и аффинные комбинации: середины, центроиды, точки, делящие медиану в отношении $2:1$ и т.п. сохраняются.
- Конкурентность: если несколько прямых пересекаются в одной точке, их образы тоже пересекаются в одной точке.
- Отношение площадей любых двух фигур (ориентированных) умножается на общий множитель $\det A$, поэтому отношение площадей двух фигур инвариантно:
$$\frac{S(F_1)}{S(F_2)}\text{не меняется}.$$ - Свойства выпуклости, параллелограммы, принадлежности конусам/кривым второго порядка (аффинный образ окружности — эллипс).
Что не сохраняется
- Длины и углы вообще не сохраняются; кругы переходят в эллипсы; перпендикулярность в общем не сохраняется.
Примеры школьных задач, которые проще решать аффинно, и почему
1) Задача: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят друг друга в отношении $2:1$.
Почему аффинно проще: любое треугольник можно аффинно отобразить в удобный (например, равнобедренный или прямоугольный) — в таком треугольнике вычисления координат медиа́н тривиальны; аффинность сохраняет отношение деления, значит результат верен для исходного. Формула: если $G$ — центр масс, то на медиане $AG:GM=2:1$.
2) Varignon: середины сторон вписанного в произвольный четырёхугольника образуют параллелограмм.
Почему: аффинно можно отобразить произвольный четырёхугольник в квадрат; у квадрата середины сторон дают параллелограмм; параллелограммы сохраняются под аффинными отображениями.
3) Отношения площадей: например, найти отношение площадей треугольников, образованных соединением вершин и точек на сторонах в заданных пропорциях (много задач на доли площадей).
Почему: под аффинным преобразованием все площади умножаются на тот же множитель, значит относительные площади и простые соотношения останутся; можно сначала привести фигуру к удобному виду (например, прямоугольному или изо́ск.) и затем считать.
4) Задачи на конкуренцию прямых (Ceva, Menelaus, задачи о точках пересечения ломанных): аффинность сохраняет коллинеарность и отношения деления отрезков, поэтому условия теорем проверяются в «простом» образе треугольника.
5) Примеры с параллелограммами и сдвигами: доказать, что диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам — сводится к случаю квадрата.
Короткое объяснение «почему это работает»
- Аффинное преобразование — это линейная перестройка базиса + сдвиг; оно сохраняет все свойства, которые выражаются через коллинеарность, параллельность и отношения на прямых, и масштабирует площади одной и тем же множителем. Поэтому если свойство формулируется через эти инварианты, можно сначала аффинно превратить исходную фигуру в удобную (например, в прямоугольник, квадрат, треугольник с простыми сторонами), решить задачу там элементарно, а затем вернуть вывод обратно — он будет верен для исходной фигуры.
Замечание: для задач, где критически важны углы или длины (например, доказать, что угол равен $60^{\circ }$ или что отрезки равны), аффинные преобразования обычно неприменимы, потому что эти величины не сохраняются.