Ответ.
Условие: найдём геометрическое место точек $X$ такие, что $\frac{XA}{XB}=k>0$.
1) Случай $k=1$.
Тогда $XA=XB$. Геометрическое место точек, равноудалённых от $A$ и $B$, — срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (прямая).
2) Случай $k\ne 1$. (Апполония.) Покажем, что множество точек — окружность (окружность Апполония).
Поставим систему координат так, что $A=(0,0)$, $B=(c,0)$, где $c=AB>0$. Условие даёт
$$\sqrt{x^2+y^2}=k\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}.$$ Возведём в квадрат и преобразуем:
$$x^2+y^2=k^2((x-c{)}^2+y^2).$$ Отсюда
$$(1-k^2)(x^2+y^2)+2k^{2}cx-k^2{c}^2=0.$$ При $k\ne 1$ разделим на $1-k^2$ и завершив квадрат, получаем уравнение окружности
$$(x+\frac{k^{2}c}{1-k^2}{)}^2+y^2=\frac{k^2{c}^2}{(1-k^2{)}^2}.$$ Значит множество точек $X(x,y)$ — окружность с центром
$$O\text{на прямой}AB,AO=\frac{k^2}{k^2-1}AB,$$ и радиусом
$$r=\frac{kAB}{|k^2-1|}.$$
Дополнительные свойства:
- Центр $O$ делит отрезок $AB$ внешне в отношении $\frac{OA}{OB}=k^2$. (Это следует из выражения для координаты центра.)
- Окружность не проходит через $A$ и $B$ (потому что $XA=0$ нельзя при положительном $k$, и аналогично для $B$).
- Для $0<k<1$ все точки линии удовлетворяют $XA<XB$; для $k>1$ — $XA>XB$.
3) Построение (компас и линейка), для заданного отрезка $AB$ и числа $k>0$:
- Постройте на прямой $AB$ точку $O$ такую, что $\frac{OA}{OB}=k^2$. Это делается стандартным способом деления отрезка в заданном отношении (внутренним или внешним в зависимости от $k$).
- Вычислите/постройте радиус $r=\frac{kAB}{|k^2-1|}$ (можно построить отрезок пропорциональный $AB$ с коэффициентом $\frac{k}{|k^2-1|}$ через подобие).
- Проведите окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Это и есть искомое множество точек.
Краткое обоснование корректности построения: алгебраически (см. вывод уравнения) условие $\frac{XA}{XB}=k$ эквивалентно уравнению полученной окружности, поэтому все и только точки на этой окружности удовлетворяют заданному соотношению.
Таким образом: при $k=1$ — срединный перпендикуляр; при $k\ne 1$ — окружность Апполония с указанными центром и радиусом.