Постановка задачи, как я её понимаю: точки $A$ и $B$ заданы (отрезок $AB$ на плоскости), задана точка $C$ вне этого отрезка; требуется построить (циркулем и линейкой) треугольник $ABC$ такой, чтобы угол при вершине $A$ имел меру $\alpha$. (Иными словами нужно добиться $\angle BAC=\alpha$.)
Построение.
1. Скопировать угол $\alpha$ в точку $A$. Стандартный способ (если угол $\alpha$ задан как угол с вершиной $O$ и лучами $OP$ и $OQ$):
- Проведите окружность радиуса $r$ с центром $O$; она пересечёт стороны угла в точках $P_1$ и $Q_1$.
- Измерьте циркулем расстояние $|P_1{Q}_1|$.
- Проведите окружность радиуса $r$ с центром $A$; она пересечёт луч $AB$ в точке $D$.
- От точки $D$ отложите на этой окружности отрез длины $|P_1{Q}_1|$ (центром циркуля в $D$ и радиусом $|P_1{Q}_1|$) — пересечение этой окружности с окружностью центра $A$ даст точку $E$.
- Проведите луч $AE$. Тогда $\angle (AB,AE)=\alpha$.
(Аналогично можно скопировать угол симметрично относительно $AB$, получив второй возможный луч.)
2. Получите один или два луча из точки $A$ (на двух сторонах прямой $AB$) таких, что углы с $AB$ равны $\alpha$. Обозначим эти лучи $r_1$ и, при необходимости, $r_2$.
3. Проверка и окончание:
- Если точка $C$ лежит на одном из полученных лучей (то есть $C\in r_1$ или $C\in r_2$), то треугольник $ABC$ уже удовлетворяет требованию $\angle BAC=\alpha$ и построение выполнено.
- Если $C$ не лежит ни на одном из лучей, то построить требуемый треугольник невозможно (при фиксированных точках $A$ и $B$ направление $AC$, обеспечивающее угол $\alpha$, строго фиксировано и совпадает с одним из этих лучей).
Обоснование корректности.
- Копирование угла циркулем и линейкой даёт луч $AE$ с требуемой мерой $\angle (AB,AE)=\alpha$. Если $C$ лежит на этом луче, то по определению $\angle BAC=\alpha$. Обратного способа нет: луч из $A$ с заданной мерой угла относительно $AB$ единственен на каждой стороне прямой $AB$, значит других положений $C$ при тех же фиксированных $A,B$ не существует.
Случаи отсутствия и множественности решений.
- Решение отсутствует, если ни один из двух лучей (вправо или влево от $AB$) не проходит через точку $C$. Тогда невозможно при фиксированных $A,B$ получить $\angle BAC=\alpha$.
- Решение единственно в обычном случае: если $C$ лежит на ровно одном из лучей, то треугольник $ABC$ единственен.
- Возможна формальная «многообразность» при вырожденных значениях: если $\alpha =0^{\circ }$ или $\alpha =180^{\circ }$ — треугольник вырожден (нет невырожденного треугольника). Если по какой‑то причине $C=A$, также треугольник вырожден. В остальных допустимых случаях максимум два направления угла (по обе стороны от $AB$), но для фиксированной точки $C$ как правило либо 0, либо 1 подходящее направление.
Короткая итоговая формула условия существования: треугольник с требуемым углом при $A$ существует тогда и только тогда, когда
$$\angle BAC=\alpha ,$$ то есть когда точка $C$ лежит на скопированном из $\alpha$ луче из $A$.