Обозначим вершины правильного тетраэдра $A,B,C,D$. Противоположными ребрами будем называть пары $(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC)$.
1) Когда сечение — треугольник.
Сечение плоскостью — треугольник тогда и только тогда, когда плоскость пересекает ровно три ребра тетраэдра. Это эквивалентно тому, что среди трёх выбранных ребер нет пары противоположных ребер. В графе $K_4$ (каркас тетраэдра) единственные такие тройки — либо три ребра, инцидентные одной вершине (например $AB,AC,AD$), либо три ребра, образующие грань (например $AB,BC,CA$). В первом случае плоскость через три точки на ребрах, исходящих из одной вершины, отсекает малый треугольник у этой вершины; во втором случае плоскость совпадает с плоскостью грани и сечение равно этой грани (треугольнику).
Кратко: треугольник ⇔ среди трёх ребер нет противоположной пары.
2) Когда сечение — четырёхугольник.
Если среди трёх выбранных ребер есть хотя бы одна пара противоположных (например $AB$ и $CD$), то плоскость, проходящая через точки на этих двух противоположных ребрах и ещё через третью точку, обязательно пересечёт и четвёртое ребро тетраэдра; следовательно сечение — выпуклый четырёхугольник. Таким образом:
четырёхугольник ⇔ среди трёх ребер есть пара противоположных.
3) Когда четырёхугольник — параллелограмм. (Критерий в координатной форме.)
Пусть, для определённости, среди выбранных ребер есть противоположные $AB$ и $CD$. Пусть точки на них и на ещё одном ребре заданы параметрами
$$P\in AB,P=(1-p)A+pB,R\in AC,R=(1-r)A+rC,$$ $$Q\in CD,Q=(1-q)C+qD.$$ Плоскость $PQR$ пересечёт четвёртое ребро $BD$ в точке
$$S\in BD,S=(1-s)B+sD.$$ Четырёхугольник $P-R-Q-S$ будет параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются в одной точке (диагонали делят друг друга пополам), т.е.
$$P+Q=R+S.$$ Подставляя разложение по векторам $A,B,C,D$ и уравнивая коэффициенты, получаем условие
$$p=r.$$ При этом вытекает также
$$q=s=1-p.$$ Итак, геометрически: четырёхугольник будет параллелограммом тогда и только тогда, когда два отрезка на смежных ребрах, исходящих из одной общей вершины (в примере — $AB$ и $AC$), делят эти ребра в одинаковых долях (здесь $\frac{AP}{AB}=p=\frac{AR}{AC}$). В этом случае точки на противоположных ребрах делятся в дополнительной (комплементарной) доле и образуют параллелограмм.
Резюме:
- треугольник ⇔ выбранные ребра не содержат противоположной пары (либо три ребра у одной вершины, либо три ребра одной грани);
- четырёхугольник ⇔ есть хотя бы одна пара противоположных ребёр;
- среди случаев четырёхугольника он является параллелограммом ⇔ параметры деления на двух смежных ребрах, исходящих из общей вершины, равны (формула см. выше).