Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике с катетами длины $a,b$ и гипотенузой $c$ выполняется
$$a^2+b^2=c^2.$$
Доказательства.
1) Классическое через подобие треугольников.
Пусть в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, катеты $a=BC,b=AC,c=AB$. Проведём высоту $CD$ на гипотенузу, пусть $AD=x,DB=y$ (так что $x+y=c$). Треугольники $ABC,ACD,BCD$ попарно подобны, отсюда
$$\frac{a}{c}=\frac{x}{a}\Rightarrow a^2=cx,\frac{b}{c}=\frac{y}{b}\Rightarrow b^2=cy.$$ Сложив, получаем
$$a^2+b^2=c(x+y)=c\cdot c=c^2.$$
2) Векторный (скалярное произведение).
Пусть векторные представления катетов: $u,v$ перпендикулярны, $u\cdot v=0$, и $\Vert u\Vert =a,\Vert v\Vert =b$. Гипотенуза соответствует $u+v$ с длиной $c=\Vert u+v\Vert$. Тогда
$$c^2=\Vert u+v{\Vert }^2=(u+v)\cdot (u+v)=\Vert u{\Vert }^2+2u\cdot v+\Vert v{\Vert }^2=a^2+0+b^2.$$
3) Алгебраико-площадной (перестановка, «Бхаскара/Кутб»).
Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$. Внутри разместим четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $a,b$ так, чтобы оставался центральный квадрат со стороной $c$. Тогда площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх треугольников и центрального квадрата:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2.$$ Развернув левую часть, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, получаем
$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$
Короткое замечание о «интегральном» подходе.
Через определение длины кривой можно параметризовать прямую между $(0,0)$ и $(a,b)$ как $x(t)=at,y(t)=bt,t\in [0,1]$. Длина отрезка равна
$${\int }_0^1\sqrt{(a{)}^2+(b{)}^2}dt=\sqrt{a^2+b^2},$$ что совпадает с евклидовой нормой и даёт ту же формулу для гипотенузы. (Этот подход использует анализ и определение длины кривой.)
Сравнение и педагогические преимущества.
- Классическое подобие:
- Преимущества: полностью геометрическое, развивает навыки зрительного мышления, понятие подобия; хорошо для средней школы.
- Требования: знание свойств подобия треугольников и высоты на гипотенузу.
- Обобщения: даёт дополнительные соотношения (отношения сегментов гипотенузы).
- Векторный (скалярное произведение):
- Преимущества: очень короткое и алгебраически чистое доказательство; легко обобщается на пространства любой размерности (норма, скалярное произведение); вводит линейную алгебру.
- Требования: понятие вектора и скалярного произведения; больше подходит старшим классам/вузу.
- Обобщения: легко перейти к понятиям ортогональности, косинуса (формула про скалярное произведение).
- Алгебраико-площадной (перестановка):
- Преимущества: наглядно и элементарно; сильный визуальный эффект «переставь и увидь»; хорош для первых встреч с теоремой.
- Требования: базовая арифметика площадей; подходит для младших и средних классов.
- Обобщения: множество вариаций перестановочных доказательств, полезно для развития пространственного воображения.
Вывод: выбор доказательства зависит от целей и подготовленности учащихся. Для интуитивного понимания и вовлечения лучше перестановочное доказательство; для формализации и работы с отношениями предпочтительна подобие; для перехода к линейной алгебре и обобщения — векторный метод.