Тезис (теорема секущих / мощности точки). Пусть из точки $X$ нарисованы две секущие, пересекающие окружность в парах точек $(P,Q)$ и $(R,S)$ (порядок вдоль каждой секущей $X$--$P$--$Q$, $X$--$R$--$S$). Тогда
$$XP\cdot XQ=XR\cdot XS,$$ то есть произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков любой другой секущей из той же точки (это и есть мощность точки $X$ относительно окружности).
Геометрическое доказательство (через подобие). Рассмотрим треугольники $△APR$ и $△AQS$. Углы
$\angle APR$ и $\angle AQS$ равны, так как оба опираются на одну и ту же дугу $AR$; аналогично $\angle ARP=\angle ASQ$. Следовательно треугольники подобны, и получается
$$\frac{AP}{AQ}=\frac{AR}{AS}\Rightarrow AP\cdot AS=AQ\cdot AR,$$ откуда перестановкой имеем искомое $AP\cdot AQ=AR\cdot AS$. (Аналогичный ход для любых двух секущих из одной точки.)
Применение к данным A, B, P, Q. Для фиксированной окружности с центром $O$ и радиусом $R$ мощность точки $X$ выражается формулой
$$\mathrm{pow}(X)=X{O}^2-R^2.$$ Если секущая через $A$ пересекает окружность в $P,Q$, то по теореме секущих
$$AP\cdot AQ=\mathrm{pow}(A)=A{O}^2-R^2,$$ аналогично
$$BP\cdot BQ=\mathrm{pow}(B)=B{O}^2-R^2.$$ Следовательно в общем случае $AP\cdot AQ$ и $BP\cdot BQ$ не равны; они равны тогда и только тогда, когда $A{O}^2=B{O}^2$, т.е. когда $AO=BO$ (точки $A$ и $B$ равноудалены от центра).
Устойчивость при малых изменениях. Функция мощности $X\mapsto X{O}^2-R^2$ непрерывна (и гладка) вне окружности, поэтому при малых перемещениях $A$ или $B$ произведения $AP\cdot AQ$ и $BP\cdot BQ$ изменяются малыми непрерывными величинами. Особые случаи:
- при приближении точки к касательной позиции (секущая стремится стать касательной) одно из пересечений сливается, и продукт стремится к квадрату длины касательной: $XP\cdot XQ\to (XT{)}^2$;
- при переходе точки через окружность меняется знак при учёте направленных отрезков (мощность становится отрицательной внутри);
- равенство $AP\cdot AQ=BP\cdot BQ$ неустойчиво без дополнительной симметрии: чтобы сохранить равенство при малой возмущении, нужно поддерживать условие $AO=BO$ (этого не будет при произвольном малом сдвиге одной точки).
Итого: секущая теорема даёт инвариантную для каждой точки величину $XP\cdot XQ$ (мощность); для двух разных внешних точек эти произведения равны лишь при равных расстояниях до центра окружности; все зависимости непрерывны вне граничных (касательных/внутренних) ситуаций.