Пусть выпуклый невырожденный четырёхугольник $ABCD$ и задано
$$\angle A+\angle C=\angle DAB+\angle BCD=180^{\circ }.$$ Доказательство вхождения в одну окружность.
1) Разложим углы по диагонали $AC$:
$$\angle DAB=\angle DAC+\angle CAB,\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD.$$ Суммируя,
$$\angle DAB+\angle BCD=(\angle DAC+\angle ACD)+(\angle CAB+\angle BCA).$$ Так как в треугольниках $ADC$ и $ABC$ суммы углов равны $180^{\circ }$, получаем
$$\angle DAB+\angle BCD=(180^{\circ }-\angle ADC)+(180^{\circ }-\angle ABC)=360^{\circ }-(\angle ADC+\angle ABC).$$ Из равенства $\angle DAB+\angle BCD=180^{\circ }$ следует
$$\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ },$$ то есть
$$\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC.$$
2) Возьмём окружность $\Gamma$, проходящую через три точки $A,B,C$ (она единственна, так как $A,B,C$ неколлинеарны). На этой окружности $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на некоторую дугу $AC$; любой другой вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $\angle ABC$, а любой вписанный угол, опирающийся на противоположную дугу $AC$, равен $180^{\circ }-\angle ABC$. Но мы получили $\angle ADC=180^{\circ }-\angle ABC$, значит точка $D$ лежит на той же окружности $\Gamma$. Следовательно, все четыре вершины $A,B,C,D$ лежат на одной окружности, то есть четырёхугольник циклический.
Граничные и вырожденные случаи (кратко):
- Если три из точек $A,B,C,D$ коллинеарны (т.е. какой‑то треугольник вырожден), то окружность через три коллинеарные точки не существует; условие суммы противоположных углов может в таком случае формально выполняться (см. углы $0^{\circ }$ или $180^{\circ }$), но конфигурация вырождена и утверждение о вписанности в обычную окружность неприменимо.
- Для самопересекающегося (крестообразного) четырёхугольника формулировку удобно рассматривать в терминах ориентированных углов по модулю $180^{\circ }$: тогда аналогичное утверждение сохраняется — четыре точки цикличны (лежат на одной окружности, возможно в другом порядке) тогда и только тогда, когда суммы соответствующих ориентированных противоположных углов равны $180^{\circ }$.
- Предельные случаи: циклический четырёхугольник может стремиться к вырожденному (одна из дуг $AC$ стремится к нулю и одна вершина совпадает с другой), в пределе некоторые углы стремятся к $0^{\circ }$ или $180^{\circ }$; это пределная (вырожденная) ситуация, но исходное утверждение про невырожденный выпуклый случай остаётся верным и строгим.