Короткий ответ: точки, равноудалённые от трёх непараллельных плоскостей Π1, Π2, Π3, — это пересечение соответствующих биссектрисных плоскостей пар (например для пар (1,2) и (1,3)). В общем случае для подходящего выбора знаков таких точек бесконечно много (обычно прямая); отсутствие решений может возникнуть лишь в вырожденных ситуациях. Ниже — пояснение и явная конструкция.
Обозначения и условие. Пусть уравнения плоскостей заданы в нормальной форме
$${\Pi }_i:{\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}+c_i=0,\Vert {\mathbf{n}}_i\Vert =1,i=1,2,3.$$ Требуемая точка $\mathbf{x}$ должна удовлетворять
$$|{\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{x}+c_1|=|{\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{x}+c_2|=|{\mathbf{n}}_3\cdot \mathbf{x}+c_3|.$$
Биссектрисные плоскости. Для любой пары ${\Pi }_i,{\Pi }_j$ множество точек с равными расстояниями к этим плоскостям есть объединение двух плоскостей (внутренняя и внешняя биссектриса), которые задаются равенствами с выбором знака:
$${\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}+c_i=s_{ij}({\mathbf{n}}_j\cdot \mathbf{x}+c_j),s_{ij}\in \{+1,-1\}.$$ Эти плоскости проходят через линию пересечения ${\Pi }_i\cap {\Pi }_j$.
Алгебраическая конструкция. Выберите ориентацию норм и два знака $s_2,s_3\in \{\pm 1\}$ для равенств относительно ${\Pi }_1$:
$${\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{x}+c_1=s_2({\mathbf{n}}_2\cdot \mathbf{x}+c_2),{\mathbf{n}}_1\cdot \mathbf{x}+c_1=s_3({\mathbf{n}}_3\cdot \mathbf{x}+c_3).$$ Переписав, получим две линейные уравнения
$$({\mathbf{n}}_1-s_2{\mathbf{n}}_2)\cdot \mathbf{x}=s_2{c}_2-c_1,({\mathbf{n}}_1-s_3{\mathbf{n}}_3)\cdot \mathbf{x}=s_3{c}_3-c_1.$$ Если векторные коэффициенты не параллельны, система задаёт прямую решений (пересечение двух плоскостей). Направление этой прямой равно
$$\mathbf{v}=({\mathbf{n}}_1-s_2{\mathbf{n}}_2)\times ({\mathbf{n}}_1-s_3{\mathbf{n}}_3).$$ Найдите частное решение ${\mathbf{x}}_0$ двух плоских уравнений (например стандартным методом решения 2×3 системы или по формуле через векторное произведение), тогда вся прямая решений задаётся
$$\{{\mathbf{x}}_0+t\mathbf{v}\mid t\in \mathbb{R}\},$$ и любая её точка даёт $|{\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{x}+c_i|$ одинаковые для всех $i$.
Геометрическая конструкция (чисто геометрически): построьте для пары (Π1,Π2) одну из биссектрисных плоскостей $B_{12}$ (через линию ${\Pi }_1\cap {\Pi }_2$ и делящую диэдральный угол), затем для пары (Π1,Π3) одну из биссектрис $B_{13}$. Их пересечение (обычно прямая) содержит искомые точки; достаточно взять любую точку на этой прямой. (Не надо дополнительно проверять пару (2,3), она автоматически соблюдается, если выполнены равенства с ${\Pi }_1$.)
Условия существования и вырожденные случаи. Для некоторого выбора знаков $s_2,s_3$ описанная система либо имеет прямую решений, либо не имеет (если плоскости параллельны и несовместны), либо совпадающую плоскость (вырождение). Практически: обычно (в общей позиции) существуют решения (как прямая для некоторой комбинации знаков). Отсутствие решений во всех четырёх комбинациях знаков случается лишь при специальной симметрии норм и сдвигов $c_i$ (вырожденный случай) и тогда ни одна точка не даёт одинаковых модулей расстояний (кроме тривиального случая, когда все три плоскости имеют общую точку — тогда эта точка даёт нули расстояний).
Итог: алгоритм построения
1. Выписать нормы ${\mathbf{n}}_i,c_i$.
2. Для каждой пары знаков $s_2,s_3$ решить линейную систему выше.
3. Если решение есть, взять любую точку на полученной прямой — это точка (или семейство точек) равноудалённая от всех трёх плоскостей.
(Все уравнения в тексте — в форме KaTeX.)