Обозначим через $d_a,d_b,d_c$ перпендикулярные расстояния точки $P$ до сторон $BC,CA,AB$ соответственно (внутри треугольника все они положительны). Надо исследовать множество
$\{P\in △ABC:d_a+d_b+d_c=\text{const}\}$.
1) Линейность суммы расстояний на плоскости внутри треугольника.
Пусть уравнения прямых-сторон нормированы так, чтобы величина левой части равнялась перпендикулярному расстоянию (знак выбран положительным внутрь треугольника):
$${\ell }_a(x,y)=d_a,{\ell }_b(x,y)=d_b,{\ell }_c(x,y)=d_c.$$ Тогда
$$f(x,y):=d_a+d_b+d_c={\ell }_a(x,y)+{\ell }_b(x,y)+{\ell }_c(x,y)$$ — аффинно-линейная функция от $(x,y)$. Уровенные множества любой ненулевой аффинной функции — параллельные прямые. Следовательно для фиксированного значения $f=$ const множество точек в плоскости — прямая (а в пересечении с $△ABC$ — отрезок или пусто).
Если коэффициенты при $x$ и $y$ в $f$ равны нулю, то $f$ тождественно постоянна на всей плоскости; это единственный случай, когда уровень не даёт семейства параллельных прямых, а вся плоскость (в частности весь треугольник) даёт одно значение. Это происходит тогда и только тогда, когда сумма единичных внутренних нормалей к сторонам равна нулю — геометрически это возможно только для равностороннего треугольника. В частности:
- если $ABC$ равносторонний, то для любой точки внутри $△ABC$ сумма $d_a+d_b+d_c$ постоянна (и равна высоте треугольника);
- в общем случае $f$ не тождественна, и уровни $f=$ const — семейство параллельных прямых; их пересечение с $△ABC$ даёт либо отрезок, либо пустое множество (если заданная константа вне образа $f$ на треугольнике).
2) Связь с барицентром (барицентрическими координатами).
Пусть $h_a,h_b,h_c$ — высоты треугольника из вершин $A,B,C$. Для точки $P$ с барицентрическими координатами $(\alpha :\beta :\gamma )$ нормированные так, что $\alpha +\beta +\gamma =1$, имеет место соотношение (по площадям):
$$d_a=\alpha h_a,d_b=\beta h_b,d_c=\gamma h_c.$$ Поэтому
$$d_a+d_b+d_c=\alpha h_a+\beta h_b+\gamma h_c.$$ Условие $d_a+d_b+d_c=$ const вместе с $\alpha +\beta +\gamma =1$ задаёт в барицентрическом симплексе прямую (линейное условие на $\alpha ,\beta ,\gamma$), что при отображении в декартовы координаты даёт упомянутую прямую в плоскости. Барицентр (центroid) имеет координаты $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, поэтому для него
$$d_a+d_b+d_c=\frac{h_a+h_b+h_c}{3}.$$ В равностороннем случае $h_a=h_b=h_c$ и это совпадает с общей константой суммы расстояний.
Вывод: множество точек внутри $△ABC$ с заданной суммой расстояний до сторон — либо отрезок на некоторой прямой; все такие прямые для разных значений суммы параллельны; единственный случай, когда сумма постоянна на всём треугольнике (т.е. семейство вырождено), — равносторонний треугольник. Связь с барицентром идет через выражение суммы как линейной комбинации высот с коэффициентами барицентрических координат.