Общее уравнение конки: $$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$
Краткий метод приведения к каноническому виду (шаги):
1) Записать квадратичную часть через симметричную матрицу:
$$Q=\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right),\text{квадратная форма}[xy]Q\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$
2) Убрать член $xy$ поворотом осей (ортогональным преобразованием). Угол поворота $\phi$ выбирают по формуле
$$\tan 2\phi =\frac{B}{A-C}.$$ При этом $Q$ диагонализуется ортогонально: найдутся собственные числа
$${\lambda }_{1,2}=\frac{A+C}{2}\pm \frac{\sqrt{(A-C{)}^2+B^2}}{2},$$ и при переходе к новым координатам $(u,v)$ (поворот на $\phi$) квадратичная часть становится ${\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2$.
Замечание о связи с дискриминантом: вводят $\Delta =B^2-4AC$. Тогда
$$\det Q=AC-\frac{B^2}{4}=-\frac{\Delta }{4},$$ отсюда знак $\Delta$ определяет знаки собственных чисел (и тип конки).
3) Перенос (если центр конечен). Если $\det Q\ne 0$ (т.е. $\Delta \ne 0$), центр $(x_0,y_0)$ находится как решение градиентного уравнения:
$$Q\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right],$$ то есть
$$\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right].$$ После переноса $u=x-x_0,v=y-y_0$ уравнение имеет вид
$${\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2+F^{\prime }=0,$$ где $F^{\prime }$ — постоянный член после подстановки.
4) Нормализация к каноническим формам. В зависимости от знаков ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ и $F^{\prime }$ приводят к стандартным видам:
- Эллипс (включая окружность): ${\lambda }_1{\lambda }_2>0$ (т.е. $\Delta <0$ и ненулевая), дают форму
$$\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1.$$ Если $F^{\prime }$ имеет знак, дающий отрицательное правое выражение — пустое множество или точка (вырожденный случай).
- Гипербола: ${\lambda }_1{\lambda }_2<0$ (т.е. $\Delta >0$), приводится к
$$\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1.$$
- Парабола: один из собственных коэффициентов равен нулю (т.е. $\Delta =0$); после поворота и переноса получается форма одного квадратичного и одного линейного члена, например
$$v=\kappa u^2\text{или}{u}^2=2pv.$$
5) Вырожденные случаи: конка вырождается (пара прямых, одна прямая, точка, пустое множество) тогда и только тогда, когда определитель расширенной матрицы равен нулю:
det⁡(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F)=0. \det\begin{pmatrix}
A & B/2 & D/2\\[4pt]
B/2 & C & E/2\\[4pt]
D/2 & E/2 & F
\end{pmatrix}=0.
det AB/2D/2 B/2CE/2 D/2E/2F =0.
Итого связь с дискриминантом $\Delta =B^2-4AC$:
- $\Delta <0$ → квадратичная форма положительно или отрицательно определена → нетинтерсечная эллипсоидная форма (эллипс, окружность) при невырожденности;
- $\Delta =0$ → одна собственная величина ноль → парабола (или вырожд. в пару параллельных или совпадающих прямых);
- $\Delta >0$ → собственные величины разного знака → гипербола (или вырожд. в две пересекающиеся прямые).
Приведение на практике: (i) вычислить $\phi$ по $\tan 2\phi$, (ii) выполнить поворот координат, (iii) при необходимости решить линейную систему для центра и выполнить перенос, (iv) привести полученное уравнение к одной из стандартных форм и проверить вырожденность по указанному детерминанту.