Решение разделю на две части: (A) пересечение «медиан граней»; (B) когда центр тяжести имеет дополнительные симметрии.
A. Пересечение медиан граней и деление их в отношении $3:1$.
Пусть тетраэдр с вершинами $A,B,C,D$. Обозначим центроиды (центры масс) треугольных граней:
$$F_A=\frac{B+C+D}{3},F_B=\frac{A+C+D}{3},F_C=\frac{A+B+D}{3},F_D=\frac{A+B+C}{3},$$ и центр тяжести тетраэдра (барицентр четырёх равных масс в вершинах)
$$G=\frac{A+B+C+D}{4}.$$ Тогда
$$G-A=\frac{B+C+D-3A}{4}=\frac{3}{4}\cdot \frac{B+C+D-3A}{3}=\frac{3}{4}(F_A-A),$$ откуда точка $G$ лежит на отрезке $A{F}_A$ и делит его так, что
$$AG:G{F}_A=3:1.$$ Аналогичные выкладки для остальных вершин дают, что все четыре отрезка $A{F}_A,B{F}_B,C{F}_C,D{F}_D$ пересекаются в одной точке $G$ и на каждой делятся в отношении $3:1$ (ближе к центроиду грани).
B. Дополнительные симметрии центра тяжести.
1) Формулировки условий в терминах центров:
- Центр тяжести совпадает с инцентром (центром вписанной сферы) тогда и только тогда, когда площади всех граней равны:
$$G=\text{incenter}⟺S_{BCD}=S_{ACD}=S_{ABD}=S_{ABC}.$$ (Это следует из барицентрических координат: инцентр имеет координаты, пропорциональные площадям противоположных граней, а центроид имеет координаты $(1:1:1:1)$.)
- Центр тяжести совпадает с описанным центром (circumcenter) тогда и только тогда, когда $G$ равноудалён от вершин:
$$G=\text{circumcenter}⟺|A-G|=|B-G|=|C-G|=|D-G|.$$
2) Полная симметрия (максимальные дополнительные симметрии):
Если центр тяжести обладает всеми симметриями тетраэдра (то есть является центром полной группы симметрий), то вершины взаимно симметричны и все ребра равны, т.е. тетраэдр регулярный. Обратно, для правильного тетраэдра центр тяжести совпадает с инцентром и описанным центром и является центром всех симметрий. Следовательно:
$$G\text{имеет полные дополнительные симметрии}⟺\text{тетраэдр регулярный (все рёбра равны)}.$$
3) Частичные дополнительные симметрии:
Если тетраэдр имеет неполную (частную) симметрию, то центр тяжести лежит на соответствующей оси или плоскости симметрии. Примеры условий:
- Если тетраэдр допускает 180° поворот, меняющий местами пары вершин (ротация вокруг прямой, проходящей через середины двух противоположных рёбер), то соответствующие пары противоположных рёбер попарно равны; центр тяжести лежит на этой оси.
- Если есть плоскость симметрии, проходящая через $G$, то две противоположные грани попарно симметричны (соответствующие расстояния и углы равны). В общем случае каждое дополнительное симметричное отображение задаёт алгебраические условия равенств длин рёбер или равенств площадей граней.
Коротко: все медианы граней пересекаются в центре тяжести $G=(A+B+C+D)/4$ и делятся в отношении $3:1$; дополнительные симметрии центра тяжести соответствуют равенствам граней/рёбер (частные симметрии) и достигают максимума лишь в случае правильного тетраэдра (все рёбра равны), когда $G$ одновременно и центроид, и инцентр, и описанный центр.