Пусть точки пересечения данных кругов обозначены $A$ и $B$, $d=|AB|$ — их расстояние, $M$ — середина отрезка $AB$. Центр искомого круга $O$ должен удовлетворять $OA=OB=R$. Отсюда:
1) равенство $OA=OB$ означает, что $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$;
2) условие $OA=R$ даёт дополнительное уравнение. В системе координат с началом в $M$ и осью $x$ вдоль серединного перпендикуляра имеем
$$O{A}^2=(\frac{d}{2}{)}^2+x^2=R^2,$$ откуда
$$x^2=R^2-(\frac{d}{2}{)}^2.$$
Следовательно, геометрическое место центров — точки на серединном перпендикуляре, отстоящие от $M$ на расстояние
$$h=\sqrt{R^2-(\frac{d}{2}{)}^2}.$$ Число решений:
- если $R>d/2$, то два центра $O_{1,2}=M\pm h\mathbf{n}$ (симметричные относительно $AB$), где $\mathbf{n}$ — единичный вектор вдоль серединного перпендикуляра;
- если $R=d/2$, то единственный центр $O=M$;
- если $R<d/2$, решений нет.
(Так как исходные круги пересекаются в двух различных точках, имеем $d>0$.)