Краткое сравнение трёх подходов к задаче касательной из внешней точки (суть, ключевые формулы, плюсы/минусы и где эффективен).
1) Синтетический метод (подобие, свойства углов и мощность точки)
- Суть: используем факт, что в треугольнике касательная образует прямой угол с радиусом, проводим подобные треугольники и применяем мощность точки.
- Ключевые соотношения: длина касательной через мощность точки
$PT=\sqrt{P{O}^2-R^2}$,
где $P$ — внешняя точка, $O$ — центр, $R$ — радиус.
- Плюсы: краткие доказательные рассуждения, наглядность, мало вычислений; хорошо для геометрических построений и олимпиадных рассуждений.
- Минусы: трудно получить явные координатные уравнения или точные численные координаты точки касания.
- Когда применять: доказательные задачи, задачи на построение, угловые соотношения, свойства хорд и секущих.
2) Аналитический метод (координаты, уравнения)
- Суть: вводим координаты, записываем уравнение окружности и уравнение прямой через $P(x_0,y_0)$; требуем, чтобы система имела единственное (кратное) решение — дискриминант = 0, либо используем условие расстояния от центра до прямой = $R$.
- Основные записи:
окружность: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$,
прямая через $P$: $y-y_0=m(x-x_0)$ или $Ax+By+C=0$ с условием прохождения через $P$,
условие касания (расстояние от центра до прямой): $\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$.
длина касательной: $PT=\sqrt{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2-R^2}$.
- Плюсы: даёт явные уравнения касательной(ых) и координаты точек касания, удобен для численных вычислений и взаимодействия с другими алгебраическими кривыми.
- Минусы: громоздкие вычисления, меньше геометрической интуиции; возможны алгебраические ошибки.
- Когда применять: нахождение уравнения касательной, пересечение с другими кривыми, задачи с числовыми данными, программная реализация.
3) Векторный / линейно-алгебраический метод
- Суть: описываем точки и направления векторами, используем скалярное (и в 2D — псевдоскалярное) произведение для условия перпендикулярности.
- Ключевые условия (центр в начале координат, $p=OP$, искомая точка касания $t=OT$):
перпендикулярность: $OT\cdot PT=0\Rightarrow OT\cdot (OT-OP)=0$,
откуда $OT\cdot OP=R^2$ при $|OT|=R$.
Один из явных способов (обозначив орт вектора $p$ как $p_{\perp }$):
$t=\frac{R^2}{\Vert p{\Vert }^2}p\pm \frac{R}{\Vert p{\Vert }^2}\sqrt{\Vert p{\Vert }^2-R^2}{p}_{\perp }.$ - Плюсы: компактность, координатно‑независимые рассуждения, естественно выражает перпендикулярность и проекции, легко обобщается в 3D и для векторных задач; удобен при работе с матрицами и преобразованиями.
- Минусы: требует умения работать с векторами/нормами; явные скалярные формы иногда длиннее, чем простая алгебра в координатах.
- Когда применять: задачи с векторами, механика, обобщения в пространстве, быстрые вычисления через проекции и скалярное произведение, комбинированные задачи с преобразованиями.
Короткие рекомендации по выбору метода
- Чисто доказательные / эстетические геометрические задачи, построения и олимпиады — синтетический метод.
- Нужны уравнения прямых/точек, численные значения, пересечения с другими кривыми или автоматизированные расчёты — аналитический (координатный) метод.
- Задачи с векторной нотацией, проекциями, обобщения в 3D или где важна компактность алгебраических условий перпендикулярности — векторный метод.
- Часто оптимально комбинировать: синтетика для идеи и упрощения, аналитика для вычислений, векторы для лаконичной записи и общего вида.