Кратко о геометрической интерпретации и формулах
- Точка $(x,y)$ на плоскости соответствует комплексному числу $z=x+iy$.
- Поворот на угол $\theta$ и одновременное растяжение с коэффициентом $r$ относительно начала задаётся умножением на $r{e}^{i\theta }$: $z\mapsto r{e}^{i\theta }z$. Частные случаи: чистый поворот $z\mapsto e^{i\theta }z$ и чистая гомотетия $z\mapsto kz$ ($k\in \mathbb{R}$).
- Поворот/гомотетия с центром в точке $a$ (сдвиг + операция у начала): $z\mapsto a+w(z-a)$, где $w\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ ($w=r{e}^{i\theta }$).
- Отражение относительно действительной оси: $z\mapsto \overline{z}$. Отражение относительно прямой, проходящей через начало и образующей угол $\varphi$ с осью абсцисс: $z\mapsto e^{i2\varphi }\overline{z}$. Для прямой через точки $a,b$ (вектор направления $u=b-a$) отражение точки $z$ даётся формулой
$$z^{\prime }=a+\frac{b-a}{\overline{b-a}}\overline{(z-a)}.$$
Примеры задач и как комплексный метод упрощает решение
1) Построение симметричной точки относительно прямой (прямая через $a,b$; симметрия точки $z_0$):
- Решение (прямая формула):
$$z^{\prime }=a+\frac{b-a}{\overline{b-a}}\overline{(z_0-a)}.$$ - Пояснение: переводим систему так, чтобы прямая проходила через начало, применяем отражение $w\mapsto \frac{u}{\overline{u}}\overline{w}$ для $u=b-a$, затем сдвигаем обратно. Это короче и чище, чем координатные выкладки с уравнениями прямой и перпендикуляра.
2) Задачи о вписанном треугольнике — пример: ортoцентр треугольника на единичной окружности.
- Пусть вершины вписанного треугольника соответствуют комплексным числам $a,b,c$ и выбрана система с центром окружности в начале координат, т.е. $|a|=|b|=|c|=1$. Тогда ортoцентр $h$ задаётся просто:
$$h=a+b+c.$$ - Краткая проверка: точка $h$ лежит на высоте из $A$ ⇔ отрезок $h-a$ перпендикулярен $b-c$, что в комплексной форме даётся соотношением $\frac{h-a}{b-a}=-\overline{\frac{c-a}{b-a}}$. Подставляя $\overline{a}=1/a$ и т.п., получаем $h=a+b+c$. Это сильно сокращает вычисления по сравнению с геометрией в прямоугольных координатах.
- Следствие (типичная задача): отражение ортoцентра $h$ относительно стороны $BC$ лежит на описанной окружности и равняется антиподе точки $A$: при $|a|=|b|=|c|=1$ отражённая точка равна $-a$. Комплексный вывод этой факты очень прямолинейный с подстановкой $h=a+b+c$ и использования формулы отражения.
3) Другие типичные упрощения:
- Условия коллинеарности, перпендикулярности и равенства углов задаются простыми алгебраическими соотношениями между комплексными числами (например, отношение направлений есть чисто вещественное или чисто мнимое и т. п.).
- При работе с образующими преобразованиями (поворот+масштаб) операции сводятся к умножению и сложению, часто дающим компактные формулы (меньше уравнений, чем в координатах).
Ограничения и трудности комплексного метода
- Необходим выбор удобной системы координат (обычно выгодно поместить центр окружности в начало); при неудачном выборе выражения могут быть громоздкими.
- Отражения и условия перпендикулярности требуют сопряжения ($\overline{z}$), то есть появляются антиголоморфные выражения; в задачах с одновременно многими сопряжениями уравнения могут стать запутанными.
- Метод алгебраизирует геометрию: теряется часть интуиции, а иногда очевидные геометрические рассуждения становятся «задачей вычислений».
- Для чисто конструктивных задач (чистое построение циркулем и линейкой) комплексные формулы дают координаты, но не всегда показывают простой способ построения; преобразование формул в последовательность построений может быть нетривиальным.
- При вычитании/делении появляются особые случаи (деление на ноль, совпадающие точки), которые нужно отслеживать отдельно.
Краткий вывод: комплексные числа — естественный и мощный инструмент для описания поворотов и гомотетий (операция умножения) и для решения многих задач о вписанных фигурах; они дают компактные формулы и упрощают доказательства. Но при работе с отражениями (сопряжением), множеством условий перпендикулярности или в задачах, где важна явная конструкция, метод может стать менее удобным или требовать аккуратного контроля отдельных случаев.