Ключевая формула (Эйлера):
$$O{I}^2=R(R-2r),$$ где $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей.
Связь с углами. Из полууглов:
$$r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2},$$ следовательно
$$O{I}^2=R^2(1-8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}),\frac{OI}{R}=\sqrt{1-8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}.$$
Оценки сверху и снизу.
- Так как при фиксированной сумме полууглов $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi }{2}$ произведение $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$ достигает максимума при $A=B=C$, получаем
$$0<\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\le {\left(\sin \frac{\pi }{6}\right)}^3=\frac{1}{8}.$$ Отсюда
$$0\le O{I}^2\le R^2,\text{или}0\le OI<R.$$ - Равенство $OI=0$ выполняется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (при этом $R=2r$). Величина $OI$ стремится к $R$, когда один из углов стремится к $0$ (вырождающийся треугольник), поэтому верхняя грань $R$ достигается лишь как супремум, но не как значение для невырожденного треугольника.
Кратко: зависимость через полууглы дана формулой $\frac{OI}{R}=\sqrt{1-8\prod \sin \frac{A}{2}}$; следствия — неравенства $0\le OI<R$ с указанными случаями равенства/предельного поведения.