Кратко и по пунктам. Обозначим высоты: из $A$ на $BC$ — точка $A_1$, из $B$ на $CA$ — $B_1$, из $C$ на $AB$. Ортоцентр — $H$.
1) Ортический (ортальный, «треугольник высот») $A_1{B}_1{C}_1$.
- Углы: $\angle B_1{A}_1{C}_1=180^{\circ }-2A,\angle C_1{B}_1{A}_1=180^{\circ }-2B,\angle A_1{C}_1{B}_1=180^{\circ }-2C.$ - Геометрические свойства: $H$ — инцентр треугольника $A_1{B}_1{C}_1$; вершины $A,B,C$ являются соответствующими эксцентрами этого треугольника.
- Условие подобия с $ABC$: нужно, чтобы множества углов совпали, т.е. $\{180^{\circ }-2A,180^{\circ }-2B,180^{\circ }-2C\}=\{A,B,C\}$. Это даёт систему, из которой в остром случае единственное решение $A=B=C=60^{\circ }$. Следовательно, $A_1{B}_1{C}_1\sim ABC$ тогда и только тогда, когда $ABC$ равносторонний.
2) Треугольники с центром в ортоцентре: $AHB,BHC,CHA$.
- Углы, например для $BHC$: $\angle BHC=180^{\circ }-A,\angle HBC=90^{\circ }-C,\angle HCB=90^{\circ }-B.$ - Подобие с $ABC$ невозможно при остром треугольнике: для того чтобы, например, $BHC\sim ABC$, пришлось бы понимать равенство углов вида $180^{\circ }-A=A$ или $180^{\circ }-A=B$ и т.п., что даёт либо $A=90^{\circ }$ (неострый случай), либо сумма двух углов $\ge 180^{\circ }$ (невозможно). Таким образом в остром случае ни один из трёх треугольников $AHB,BHC,CHA$ не подобен $ABC$.
3) Треугольники, составленные из одной исходной вершины и двух оснований высот, например $A{B}_1{C}_1$ (вершина $A$ и основания высот из $B$ и $C$).
- Углы: $\angle B_{1}A{C}_1=A,\angle A{B}_1{C}_1=90^{\circ }-B,\angle A{C}_1{B}_1=90^{\circ }-C.$ - Для подобия с $ABC$ требовалось бы совпадение наборов $\{A,90^{\circ }-B,90^{\circ }-C\}$ и $\{A,B,C\}$. В остром треугольнике это даёт противоречия (единственный случай вне острого класса — наличие прямого угла). Поэтому при остром $ABC$ такие треугольники не подобны $ABC$ (опять же единственный тривиальный совместный случай — вырожденные/правые или равносторонние конфигурации).
4) Отражения ортоцентра по сторонам: пусть $H_a,H_b,H_c$ — отражения $H$ относительно $BC,CA,AB$.
- Известно: точки $H_a,H_b,H_c$ лежат на описанной окружности треугольника $ABC$. (Это классический факт: отражение ортоцентра относительно стороны лежит на описанной окружности.)
- Следствия: треугольник $H_a{H}_b{H}_c$ — вписанный в ту же окружность; его углы связаны с углами $ABC$ теми же выражениями, что и для ортального треугольника (через удвоенные дополнения), и потому подобие с $ABC$ снова возможно только в вырожденных/симметричных частных случаях (в частности, равностороннем).
Вывод (сводка). Из основных треугольников, естественно возникающих при проведении высот и рассмотрении ортоцентра (ортальный треугольник $A_1{B}_1{C}_1$, треугольники $AHB,BHC,CHA$, треугольники вида $A{B}_1{C}_1$ и треугольник отражений $H_a{H}_b{H}_c$), все имеют легко выражаемые через $A,B,C$ углы (см. формулы выше). В остром случае никакие из этих треугольников не будут подобны исходному $ABC$, за исключением частного случая равностороннего $ABC$ (тогда ортальный и многие другие треугольники совпадают по форме).