Короткий ответ-идея и окончательная классификация.
1) Замечание (упрощающее условие). Пусть стороны целые $a,b,c$ и площадь целая $K\in \mathbb{Z}$. Тогда высота к стороне $a$ равна
$$h_a=\frac{2K}{a},$$ то есть автоматически рациональна. Поэтому условие «площадь целая и одна из высот рациональна» эквивалентно просто условию «площадь целая» (Heron‑треугольники).
2) Удобная описательная параметризация. Введём целые числа
$$x=s-a,y=s-b,z=s-c,$$ где $s=\frac{a+b+c}{2}$ — полу­периметр. Тогда
$$a=y+z,b=z+x,c=x+y,$$ и площадь задаётся формулой Герона в виде
$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(x+y+z)xyz}.$$ Следовательно Heron‑треугольники однозначно соответствуют тройкам положительных целых $(x,y,z)$ таких, что
$$(x+y+z)xyz$$ — полный квадрат. Это простая и исчерпывающая редукция задачи к диофантову условию.
3) Частная (удобная для построения) форма. Часто вводят факторизацию (после вычленения общих квадратных множителей) вида
$$x=qr,y=rp,z=pq$$ с целыми $p,q,r>0$. Тогда
$$a=p(q+r),b=q(r+p),c=r(p+q),$$ и
$$K=pqr\sqrt{pq+qr+rp}.$$ Отсюда необходимое и достаточное условие для целой площади: существует целое $t$ такое, что
$$pq+qr+rp=t^2,$$ тогда $K=pqrt$ — целое. Таким образом построение всех Heron‑треугольников сводится к поиску целых четверок $(p,q,r,t)$ с $pq+qr+rp=t^2$; для каждой такой четверки треугольник с боками $(p(q+r),q(r+p),r(p+q))$ даёт пример, и всякий Heron‑треугольник получается (после выделения общих квадратов) в такой форме.
4) Примеры и семейства. Уравнение $pq+qr+rp=t^2$ имеет бесконечно много решений; даются как отдельные решения, так и параметрические семейства (например при специальных отношениях между $p,q,r$). Конкретные малые примеры: $(a,b,c)=(3,4,5)$ — Heron ( $K=6$ ), $(a,b,c)=(5,5,6)$ — Heron ( $K=12$ ) и т.д. (любой пример легко привести через $x,y,z$ ).
5) Какие «решётки»/структуры возникают при перечислении. При естественном разбиении и упорядочивании видны следующие структуры:
- Разбиение на классы подобия: два целых треугольника подобны, если их стороны пропорциональны; каждый класс подобия содержит все целые кратные одного «примитивного» треугольника. Поэтому под отношением «$T_1$ делит $T_2$ (то есть стороны $T_2$ = $k$⋅стороны $T_1$ для целого $k$)» множество Heron‑треугольников распадается в дизъюнктное объединение цепей, изоморфных положительным целым числам (каждая примитивная фигура даёт бесконечную цепь её кратных). Это даёт простую частично упорядоченную структуру — семейство параллельных «лучей» (цепочек).
- Классы примитивных решений (модуль подобия) соответствуют целым решениям уравнения $pq+qr+rp=t^2$ (модуля перестановок и домножения на квадрат). Множество таких решений — счётно бесконечное; при параметризации оно выглядит как целочисленная поверхность (квазирешётка) в ${\mathbb{Z}}^4$. Поэтому при перечислении по параметрам возникает двумерная решётчатая структура (с параметрическими семействами и решётчатыми подсемействами), а при учёте масштабирования — дополнительное одномерное направление (мультипликативная цепочка).
- Дополнительные частичные порядки (например покомпонентная делимость между тройками $(a,b,c)$) дают более сложные решётчатые графы, но естественная и простая структура — это разбиение на классы подобия и цепочки их целых кратных.
Итого: все требуемые треугольники — это именно Heron‑треугольники; их описательная классификация даётся через тройки $(x,y,z)$ с целыми $x,y,z$ и условием $(x+y+z)xyz$ — квадрат, или эквивалентно через параметризацию $a=p(q+r),b=q(r+p),c=r(p+q)$ при целых $p,q,r$ удовлетворяющих $pq+qr+rp=t^2$. При перечислении возникает естественное разбиение на классы подобия (примитивные треугольники) и их целые кратные — то есть система параллельных бесконечных цепочек; более тонкая параметризация даёт двумерные «решётчатые» семейства решений уравнения $pq+qr+rp=t^2$.