Кратко: минимальный по периметру сферический треугольник, содержащий три данные точки $A,B,C$ (не лежащие на одной большой окружности), — это их сферическая выпуклая оболочка, т.е. треугольник, вершины которого совпадают с этими точками, а стороны — кратчайшие дуги больших кругов между соответствующими вершинами. Его периметр
$$P_{\min }=d(A,B)+d(B,C)+d(C,A),$$ где $d(X,Y)$ — сферическое (по большой окружности) расстояние между точками $X$ и $Y$.
Почему это минимум (суть доказательства, сжато):
- любая сторона произвольного сферического треугольника есть кусок некоторой большой окружности; чтобы такой треугольник содержал точки $A$ и $B$, пересечение этой большой окружности с треугольником на той же большой окружности должно покрывать точечный отрезок от $A$ до $B$. Следовательно длина соответствующей стороны не меньше $d(A,B)$.
- аналогично для пар $(B,C)$ и $(C,A)$. Сумма трёх сторон любого содержащего треугольника не меньше суммы трёх попарных расстояний, т.е. не меньше $P_{\min }$.
- треугольник с вершинами $A,B,C$ достигает эту нижнюю оценку, если для каждой пары выбирается кратчайшая дуга (т.е. длина каждой дуги \<$\pi$). Для трёх неколлинеарных точек такая треугольная оболочка лежит в некоторой полу-сфере и стороны действительно можно брать короткими дугами.
Отличия от плоского аналога:
- в Евклидовой плоскости аналогичное утверждение тоже верно: минимальный по периметру треугольник, содержащий три точки, — это треугольник их выпуклой оболочки (вершины — сами точки). Но на сфере появляются дополнительные тонкости:
- дуги сторон — части больших кругов и между любой парой точек есть две дуги; нужно выбирать кратчайшие (длины в $[0,\pi ]$);
- возможны граничные/выраженные случаи, когда точки лежат на общей большой окружности или на полу-окружности: тогда треугольник может быть не единственным или некорректно определён (сторона может иметь длину $\pi$);
- геометрия на сфере не однородна по масштабированию: понятия углов, периметра и площади связаны через сферическую избыток, треугольники не подобны при изменении размеров;
- изогнутость сферы меняет взаимосвязи расстояний и углов по сравнению с плоскостью, но идея «выпуклой оболочки даёт минимум» остаётся.
Итого: построить минимальный треугольник — соединить $A,B,C$ кратчайшими дугами больших кругов; это даёт периметр $d(A,B)+d(B,C)+d(C,A)$ и является оптимальным при обычных (неграничных) условиях.