Кратко: пусть данa окружность с центром $O$ и радиусом $R$, точка $P$ вне её ($PO>R$). Точек касания две; отрезок касательной имеет длину
$$PT=\sqrt{P{O}^2-R^2}.$$
1) Синтетический метод (чистая геометрия, построение)
- Идея и шаги: если $PT$ — касательная в точке $T$, то $OT\perp PT$, значит в треугольнике $OPT$ угол при $T$ прямой. По теореме Фалеса $T$ лежит на окружности с диаметром $OP$. Следовательно точки касания — пересечения данной окружности и окружности с диаметром $OP$.
- Преимущества: очень простая конструкция (линия и окружность); даёт ясную геометрическую интерпретацию; удобен для популярных задач построения и доказательств. Не требует вычислений.
- Когда предпочтителен: учебные геометрические задачи, ручное построение циркулем и линейкой, получение интуитивных свойств.
2) Координатная (аналитическая) алгебра
- Идея и формула: задать окружность $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ и точку $P(x_0,y_0)$. Прямая через $P$ в виде $y=m(x-x_0)+y_0$. Условие касания — подстановка в уравнение окружности даёт квадратное уравнение с дискриминантом $0$. Это даёт уравнение для наклона $m$:
$$(m(a-x_0)+(y_0-b){)}^2=R^2(1+m^2).$$ Решив его, получаете значения $m$ (двa решения), затем уравнения двух касательных; точки касания находятся как точки пересечения прямой и окружности или как проекции центра $O$ на найденные прямые.
- Преимущества: даёт явные формулы, подходит для численных вычислений и символических выкладок, легко обобщается (много окружностей, координатные преобразования, параметры). Удобно при программной реализации.
- Когда предпочтителен: задачи с числами, требующие точного аналитического ответа, вычисления координат касательных и точек касания, при использовании CAS или в задачах оптимизации/анализа.
3) Метод инверсии
- Идея и процедура: сделать инверсию с центром в $P$ (любой радиус). Образ данной окружности — некоторая окружность $C^{\prime }$ с центром $O^{\prime }$. Так как инверсия сохраняет углы, точка $T$ касания переходит в точку $T^{\prime }$ такого, что угол $\angle O^{\prime }P{T}^{\prime }=90^{\circ }$, т.е. $T^{\prime }$ лежит на окружности с диаметром $P{O}^{\prime }$. Значит найти $T^{\prime }$ как пересечения $C^{\prime }$ и окружности с диаметром $P{O}^{\prime }$, затем обратить инверсию, чтобы получить $T$. Частные удобства: часто можно подобрать радиус инверсии так, что $C^{\prime }$ превращается в более простую фигуру (например, при подходящих условиях — в окружность с удобным положением или в линию), что сильно упрощает задачу.
- Преимущества: превращает касательность в задачу на пересечение/коллинеарность; очень мощна при сложных конфигурациях (много окружностей/касательностей), когда инверсия упрощает структуру (превращает окружности в линии и т.п.); сохраняет углы, позволяет легко использовать орто­гона­льность и симметрию.
- Когда предпочтительна: сложные конфигурации с множеством касаний/окружностей, когда по удачному выбору центра/радиуса инверсии фигуры упрощаются; когда нужно доказать существование/единственность или получить конструкцию через пересечения после преобразования.
Краткое сравнение по назначению
- Синтетика: лучшая для быстрых чисто геометрических построений и понимания; минимальные средства.
- Аналитика: лучшая для явных вычислений, программ и алгебраических обобщений.
- Инверсия: лучшая для упрощения сложных конфигураций, превращения касательных в простые пересечения; даёт сильные структурные выводы.
Вывод: выбор метода зависит от цели — построение и доказательство (синтетика), численные/символьные ответы и общие формулы (координатный), упрощение сложных схем касаний/окружностей (инверсия).