Кейс: в плоскости дан вписанный четырёхугольник ABCD с диагоналями пересекающимися в O. При условии, что ∠AOB = 60° и длина AO = BO задана, исследуйте, какие дополнительные свойства можно выводить о сторонах и углах ABCD
Кейс: в плоскости дан вписанный четырёхугольник ABCD с диагоналями пересекающимися в O. При условии, что ∠AOB = 60° и длина AO = BO задана, исследуйте, какие дополнительные свойства можно выводить о сторонах и углах ABCD
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
1) Из условий ∠AOB=60∘\angle AOB=60^\circ∠AOB=60∘ и AO=BOAO=BOAO=BO следует, что треугольник AOBAOBAOB равносторонний. Значит
AB=AO=BO,∠OAB=∠OBA=60∘. AB=AO=BO,\qquad \angle OAB=\angle OBA=60^\circ.
AB=AO=BO,∠OAB=∠OBA=60∘.
2) Поскольку луч AOAOAO лежит на диагонали ACACAC, имеем ∠BAC=∠BAO=60∘\angle BAC=\angle BAO=60^\circ∠BAC=∠BAO=60∘. По теореме о вписанном угле это даёт меру дуги
BC^=2∠BAC=120∘. \widehat{BC}=2\angle BAC=120^\circ.
BC=2∠BAC=120∘.
3) Формула для угла, образованного двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, даёт
∠AOB=12(AB^+CD^)=60∘⇒AB^+CD^=120∘. \angle AOB=\tfrac12\big(\widehat{AB}+\widehat{CD}\big)=60^\circ\quad\Rightarrow\quad \widehat{AB}+\widehat{CD}=120^\circ.
∠AOB=21 (AB+CD)=60∘⇒AB+CD=120∘. Сумма всех дуг равна 360∘360^\circ360∘; поэтому из BC^=120∘\widehat{BC}=120^\circBC=120∘ и AB^+CD^=120∘\widehat{AB}+\widehat{CD}=120^\circAB+CD=120∘ следует
DA^=360∘−(AB^+BC^+CD^)=120∘, \widehat{DA}=360^\circ-(\widehat{AB}+\widehat{BC}+\widehat{CD})=120^\circ,
DA=360∘−(AB+BC+CD)=120∘, т.е. BC^=DA^=120∘\widehat{BC}=\widehat{DA}=120^\circBC=DA=120∘.
4) Из равенства дуг BC^=DA^\widehat{BC}=\widehat{DA}BC=DA следует равенство соответствующих хорд:
BC=AD. BC=AD.
BC=AD.
5) Углы между диагоналями в точке пересечения OOO. По той же формуле для углов при пересечении хорд получаем две противоположные величины:
∠AOB=∠COD=60∘,∠BOC=∠DOA=120∘. \angle AOB=\angle COD=60^\circ,\qquad \angle BOC=\angle DOA=120^\circ.
∠AOB=∠COD=60∘,∠BOC=∠DOA=120∘.
6) Выражения для углов вершин через дуги. Обозначим AB^=x, CD^=z\widehat{AB}=x,\ \widehat{CD}=zAB=x, CD=z (тогда x+z=120∘x+z=120^\circx+z=120∘). Тогда
∠A=∠B=12(BC^+CD^)=12(120∘+z)=60∘+z2, \angle A=\angle B=\tfrac12(\widehat{BC}+\widehat{CD})=\tfrac12(120^\circ+z)=60^\circ+\tfrac z2,
∠A=∠B=21 (BC+CD)=21 (120∘+z)=60∘+2z , ∠C=∠D=12(AB^+DA^)=12(x+120∘)=60∘+x2. \angle C=\angle D=\tfrac12(\widehat{AB}+\widehat{DA})=\tfrac12(x+120^\circ)=60^\circ+\tfrac x2.
∠C=∠D=21 (AB+DA)=21 (x+120∘)=60∘+2x . Следовательно углы попарно равны: ∠A=∠B\angle A=\angle B∠A=∠B и ∠C=∠D\angle C=\angle D∠C=∠D, причём ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ∠A+∠C=180∘ (как и для любого вписанного четырёхугольника).
7) Длины и соотношения. Имеем уже AB=AO=BOAB=AO=BOAB=AO=BO и BC=ADBC=ADBC=AD. Из теоремы Птолемея для циклического четырёхугольника
AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD, AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,
AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD, с учётом BC=ADBC=ADBC=AD даёт полезное упрощение
AC⋅BD=AB⋅CD+BC2. AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC^2.
AC⋅BD=AB⋅CD+BC2. Более точные числовые соотношения между сторонами и диагоналями зависят от разбиения 120∘120^\circ120∘ на AB^=x\widehat{AB}=xAB=x и CD^=120∘−x\widehat{CD}=120^\circ-xCD=120∘−x.
Итог (кратко): из заданного следует, что AOBAOBAOB — равносторонний, BC^=DA^=120∘\widehat{BC}=\widehat{DA}=120^\circBC=DA=120∘ (поэтому BC=ADBC=ADBC=AD), диагонали пересекаются под углами 60∘60^\circ60∘ и 120∘120^\circ120∘, углы вершин идут попарно равными (∠A=∠B\angle A=\angle B∠A=∠B, ∠C=∠D\angle C=\angle D∠C=∠D), а общие алгебраические соотношения между сторонами задаются формулами выше (в частности Птолемей дает доп. соотношение).