Краткий ответ: да. Три положительных числа $m_a,m_b,m_c$ являются длинами медиан некоторого (незырого) треугольника тогда и только тогда, когда они сами удовлетворяют неравенствам треугольника
$$m_a+m_b>m_c,m_b+m_c>m_a,m_c+m_a>m_b.$$ (При равенствах допускается вырожденный случай.)
Доказательство (схема, самые важные шаги).
1) Необходимость. В любом треугольнике медианы удовлетворяют неравенствам треугольника (например, рассматривают ломаную, состоящую из двух медиан, и применяют неравенство треугольника к отрезку третьей медианы). Поэтому для медиан справедливы указанные неравенства.
2) Достаточность. Из формулы Апполония
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,\text{и циклично}$$ решаем систему относительно квадратов сторон и получаем явные формулы
$$a=\frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2+2m_c^2-m_a^2},b=\frac{2}{3}\sqrt{2m_c^2+2m_a^2-m_b^2},c=\frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2+2m_b^2-m_c^2}.$$ Поэтому нужно убедиться, что подкоренные выражения положительны и что полученные $a,b,c$ образуют треугольник. Для положительности достаточно заметить алгебраическое тождество
$$2m_b^2+2m_c^2-m_a^2=(m_a+m_b+m_c)(m_b+m_c-m_a)+(m_b-m_c{)}^2,$$ откуда при $m_b+m_c>m_a$ правая часть положительна, значит $a>0$ (аналогично для $b,c$). Далее проверка неравений $a<b+c$ (и циклически) сводится при подстановке выражений для $a^2,b^2,c^2$ к неравенствам для $m$-ов и выполняется при условии выше (детальная алгебраическая проверка проводится сквaring-операциями и использует те же тождества).
Следовательно системы условий необходимы и достаточны: три данные положительные числа являются длинами медиан некоторого (ненулевого) треугольника тогда и только тогда, когда они удовлетворяют треугольным неравенствам, как указано выше.