Пусть $a=BC,b=CA,c=AB$, и $M$ — середина $BC$. Условие: медиана из $A$ равна половине $BC$, т.е. $AM=\frac{a}{2}$.
Алгебраическое доказательство.
Формула для медианы:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ При $m_a=\frac{a}{2}$ получаем
$$\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\Rightarrow a^2=b^2+c^2.$$ По теореме косинусов это эквивалентно $\cos A=0$, значит
$$\angle A=90^{\circ }.$$
Геометрическое (короткое) доказательство.
Так как $M$ — середина $BC$, то $MB=MC=\frac{a}{2}$. По условию $AM=\frac{a}{2}$, значит
$$AM=BM=CM,$$ то есть $M$ равноудалён от вершин — центр описанной окружности. Центр описанной окружности совпадает с серединой стороны только для прямого треугольника, где эта сторона — гипотенуза. Следовательно, угол $A$ прямой.
Следствия и классификация.
- Необходимое и достаточное условие: $AM=\frac{BC}{2}$ тогда и только тогда, когда $\angle A=90^{\circ }$.
- Соотношение между сторонами: $a^2=b^2+c^2$.
- Радиус описанной окружности $R=\frac{a}{2}$.
- Частный случай: при $b=c$ треугольник — равнобедренный прямой (углы $B$ и $C$ равны $45^{\circ }$).
- Никаких других типов (остро- или тупоугольных) при данном условии быть не может — только прямой в вершине $A$.