Пусть заданные окружности имеют центры $O_1,O_2$ и радиусы $r_1,r_2$. Рассмотрим искомую окружность с центром $X$ и радиусом $R$. Для каждой из двух касательностей существует знак ${\epsilon }_i\in \{+1,-1\}$ (``+'' — внешняя касательность, ``–'' — внутренняя) такой, что
$$X{O}_i=R+{\epsilon }_i{r}_i(i=1,2).$$ Вычитая эти равенства, получаем
$$X{O}_1-X{O}_2={\epsilon }_1{r}_1-{\epsilon }_2{r}_2=\text{const}.$$ Отсюда общее описание геометрического места: центры всех окружностей, касающихся обеих заданных, лежат на ветвях гипербол (с фокусами в $O_1,O_2$), задаваемых уравнениями вида
$$|X{O}_1-X{O}_2|=C,$$ где возможные значения константы
$$C\in \{|r_1-r_2|,r_1+r_2\},$$ соответствуют двум классам сочетаний касаний:
- одинаковые по типу (обе внешние или обе внутренние): $|X{O}_1-X{O}_2|=|r_1-r_2|$;
- разные по типу (одна внешняя, другая внутренняя): $|X{O}_1-X{O}_2|=r_1+r_2$.
Частные случаи и замечания:
- если $r_1=r_2$, то уравнение первого типа даёт $|X{O}_1-X{O}_2|=0$ — перпендикулярный биссектрисе отрезка $O_1{O}_2$ (прямая); второй тип даёт $|X{O}_1-X{O}_2|=2r_1$.
- уравнение $|X{O}_1-X{O}_2|=C$ имеет реальные точки только если $C<|O_1{O}_2|$ (иначе ветвей нет); следовательно для каждого типа касания нужно дополнительно проверять условие существования.
- вытекает, что в общем случае геометрическое место — объединение до двух гипербол (каждая даёт две ветви), но некоторые ветви могут отсутствовать или вырождаться (в частности при совпадении центров $O_1=O_2$ или при равенстве радиусов).
Кратко: центры всех окружностей, касающихся обеих заданных, лежат на ветвях гипербол с фокусами $O_1,O_2$ и постоянной разностью расстояний, равной либо $|r_1-r_2|$, либо $r_1+r_2$; частные случаи описаны выше.