Обозначения. Пусть фиксированный угол (угловая вершина прямоугольника) = $A$, точка вне прямоугольника = $P$. Периметр прямоугольника — замкнутая ломаная, состоящая из четырёх отрезков $s_1,\dots ,s_4$. Ищем $Q$ на периметре, минимизирующую функцию
$$f(Q)=|PQ|+|QA|.$$
Метод (для каждой стороны отдельно + сравнение результатов)
- Для каждой стороны $s_i$ рассматриваем прямую $L_i$, содержащую эту сторону. Отразим точку $A$ симметрично относительно $L_i$ и получим точку $A_i^{\prime }$.
- Для любой точки $Q\in L_i$ имеем $|QA|=|Q{A}_i^{\prime }|$, поэтому для $Q\in L_i$ $$f(Q)=|PQ|+|QA|=|PQ|+|Q{A}_i^{\prime }|\ge |P{A}_i^{\prime }|,$$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $Q$ лежит на отрезке с концами $P$ и $A_i^{\prime }$.
- Следовательно минимизатор на всей прямой $L_i$ — это точка пересечения отрезка $P{A}_i^{\prime }$ с $L_i$, если такая точка лежит внутри отрезка $s_i$. Если точка пересечения либо отсутствует, либо попадает вне отрезка $s_i$, то минимизатор на отрезке $s_i$ достигается в одном из его концов (т. е. в одном из двух углов), и надо выбрать тот конец, где $f$ меньше.
- Повторить для всех четырёх сторон $s_i$. В качестве кандидатов на глобальный минимум имеют смысл: все найденные внутренние точки пересечения на сторонах и все четыре вершины прямоугольника. Вычислить $f$ в этих кандидатах и выбрать наименьшее значение.
Обоснование корректности. Для каждой стороны мы ищем минимум $f$ на отрезке $s_i$. Отражение даёт явную нижнюю грань $|P{A}_i^{\prime }|$ и критерий равенства; если пересечение отрезка $P{A}_i^{\prime }$ с $s_i$ существует, то оно даёт глобальный минимум для этой стороны. Так как периметр — объединение конечного числа компактных отрезков и $f$ непрерывна, глобальный минимум на периметре существует (по теореме Вейерштрасса). Перечислением конечного числа кандидатов мы гарантированно находим этот минимум.
Существование и единственность
- Существование: следует из непрерывности $f$ и компактности периметра: минимум достигается.
- Единственность: на каждой отдельной стороне $s_i$ функция $Q\mapsto |PQ|+|QA|$ является выпуклой вдоль отрезка, поэтому минимизатор на данной стороне либо единственный, либо существует промежуток вырожденного минимума (выравнивание ситуаций). Глобально решение обычно единственно, но возможны вырождения:
- если отрезок $PA$ пересекает периметр по отрезку (т. е. часть периметра лежит на одном и том же отрезке прямой $PA$), тогда любая точка этого пересекающегося отрезка даёт одно и то же значение $f(Q)=|PA|$ — множество минимизаторов непрерывно;
- если для двух разных сторон соответствующие точки пересечения и/или вершины дают ровно одинаковое значение $f$, то минимизатор не единственен (несколько точек с одинаковой минимальной суммой).
- В общем положении (без симметрий и коллинеарностей) минимум единственен; неединственность возникает только при специальных (мертвых) геометрических конфигурациях, описанных выше.
Краткая проверка на практике
1. Для каждой стороны: построить отражение $A_i^{\prime }$, найти пересечение $Q_i=L_i\cap P{A}_i^{\prime }$. Если $Q_i\in s_i$, вычислить $f(Q_i)=|P{A}_i^{\prime }|$.
2. Если пересечения нет в пределах $s_i$, взять концы $B_{i1},B_{i2}$ стороны и вычислить $f(B_{ij})$.
3. Среди всех полученных значений выбрать наименьшее — соответствующая точка(ы) и есть искомые минимизаторы.
(Все расстояния и отражения строятся обычными евклидовыми операциями; формула отражения даёт корректный критерий минимальности на каждой прямой.)