Коротко: даётся высота $h$, медиана $m$ и биссектриса $l$, все из одной вершины $A$. Обозначим через $H$ — основание высоты на $BC$, $M$ — середина $BC$, $D$ — точка пересечения биссектрисы с $BC$. Положим на прямой $BC$ ориентированные координаты так, чтобы $H$ — в начале, $A$ — над $H$ на высоту $h$. Тогда
- $u:=HM$ удовлетворяет $u^2=m^2-h^2$, т.е. $u=\sqrt{m^2-h^2}$;
- $v:=HD$ удовлетворяет $v^2=l^2-h^2$, т.е. $v=\pm \sqrt{l^2-h^2}$ (знак отражает, с какой стороны от $H$ лежит $D$).
Пусть $s=\frac{BC}{2}$. Применяя теорему биссектрисы и подставляя расстояния, получаем при алгебраических преобразованиях единственное выражение для $s^2$:
$$s^2=\frac{(u-v)(h^2+uv)}{v}.$$ Отсюда
$$a=BC=2s,s=\sqrt{\frac{(u-v)(h^2+uv)}{v}}.$$
Условия существования и однозначности
- предварительно необходимо $m\ge h$ и $l\ge h$ (чтобы $u$ и $v$ были вещественными);
- для фиксированного выбора знака $v$ (то есть для заданной ориентации точки $D$ относительно $H$) значение $s^2$ вычисляется по формуле выше; треугольник существует при $s^2>0$ и не существует при $s^2\le 0$;
- поскольку $v$ может быть взято с двумя знаками $\pm \sqrt{l^2-h^2}$ (точка $D$ может лежать по одну или по другую сторону от $H$), всего может получиться до двух неконгруэнтных треугольников (по одному для каждого знака), или один, если только для одного знака $s^2>0$ (вырожденные/особые случаи дают единственный или нулевой результат);
- частный случай $v=0$ (т.е. $l=h$) возможен лишь совместно с $u=0$ (т.е. $m=h$) — тогда все три отрезка совпадают с одной высотой/медианой/биссектрисой и треугольник — симметричный (isosceles); в остальных случаях $v=0$ несовместимо.
Пошаговая конструкция (линейкой и циркулем)
1. Проверить, что $m\ge h$ и $l\ge h$. Построить отрезки $m,l,h$.
2. Построить $u=\sqrt{m^2-h^2}$ и $v_0=\sqrt{l^2-h^2}$ (округл. положительные длины) стандартным способом: из отрезков $m$ и $h$ построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $m$ и катетом $h$, другой катет есть $u$; аналогично для $v_0$.
3. На прямой берём точку $H$ и вверх по перпендикуляру от нее откладываем точку $A$ на расстояние $h$.
4. Для каждого варианта ориентации $v=\pm v_0$:
a) отложить на прямой $BC$ от $H$ точку $M$ на расстояние $u$ (выбор стороны даёт зеркальную ситуацию, дающую конгруэнтный треугольник); отложить точку $D$ на расстояние $v$ от $H$ (на ту же прямую).
b) вычислить (геометрически: умножение/деление/взятие корня конструктивно осуществимы) значение $s^2=\frac{(u-v)(h^2+uv)}{v}$. Если $s^2\le 0$, этот вариант отбросить.
c) построить $s=\sqrt{s^2}$ и от точки $M$ отложить в обе стороны отрезы длины $s$; получены $B$ и $C$.
d) провести от $A$ прямые к $B$ и $C$ — это искомый треугольник.
5. Получите 0, 1 или 2 решений (плюс зеркальные отражения).
Краткий итог: конструкция возможна при $m\ge h,l\ge h$ и при положительности выражения $\frac{(u-v)(h^2+uv)}{v}$ для по крайней мере одного выбора знака $v=\pm \sqrt{l^2-h^2}$. Для фиксированного знака $v$ решение (если существует) единственно (с точностью до симметрии), в целом может быть до двух различных треугольников.