Построение и утверждение. Пусть заданы две плоскости ${\pi }_1$ и ${\pi }_2$ и фиксированная прямая $l$. Пусть $A={\pi }_1\cap l$ и $B={\pi }_2\cap l$ — точки пересечения этих плоскостей с $l$. Возьмём любую плоскость $\alpha$, содержащую $l$. Пересечения
$$c_1={\pi }_1\cap \alpha ,c_2={\pi }_2\cap \alpha$$ — это две прямые в плоскости $\alpha$, пересекающие $l$ в тех же точках $A$ и $B$.
Обозначим через $O$ произвольную точку на $l$. В плоскости $\alpha$ опустим из $O$ перпендикуляры на прямые $c_1$ и $c_2$; длины этих перпендикуляров обозначим $d_1$ и $d_2$. Угол между $l$ и $c_i$ в плоскости $\alpha$ обозначим ${\phi }_i$.
Доказательство (подобие треугольников). В плоскости $\alpha$ у нас имеются прямые треугольники с вершинами $A,O$ и соответствующей ножкой на $c_1$; из прямоугольной геометрии получаем
$$OA=\frac{d_1}{\sin {\phi }_1},OB=\frac{d_2}{\sin {\phi }_2}.$$ Отсюда общая формула для отношения отрезков на $l$:
$$\frac{OA}{OB}=\frac{d_1}{d_2}\cdot \frac{\sin {\phi }_2}{\sin {\phi }_1}.$$
Интерпретация через проекции и подобие. Числа $d_1,d_2$ — это расстояния от точки $O\in l$ до линий $c_1,c_2$ в плоскости $\alpha$; эти линии являются сечениями (следами) плоскостей ${\pi }_1,{\pi }_2$ плоскостью $\alpha$. Таким образом соотношение выше выражает длины отрезков на прямой $l$ через расстояния между следами плоскостей в сечающей плоскости и через синусы углов (то есть через угловые коэффициенты) — это классическое применение подобия прямоугольных треугольников и проекций на плоскость $\alpha$.
Следствия (условия равенства отрезков). Отсюда видно, что $OA=OB$ тогда и только тогда, когда
$$\frac{d_1}{d_2}=\frac{\sin {\phi }_1}{\sin {\phi }_2}.$$ В частных случаях это даёт простые критерии:
- если ${\phi }_1={\phi }_2$ (плоскости делают с $l$ одинаковый угол), то равенство отрезков эквивалентно равенству расстояний следов: $d_1=d_2$ (т.е. следы $c_1$ и $c_2$ в любой плоскости $\alpha$ через $l$ лежат на одинаковом расстоянии от точки $O$);
- если же следы $c_1,c_2$ лежат симметрично относительно некоторой точки на $l$ (или плоскости симметрии, перпендикулярной $l$), то $d_1=d_2$ и при равных углах ${\phi }_1={\phi }_2$ получаем $OA=OB$.
Итак: равенство отрезков, образуемых пересечением двух наклонных плоскостей с данной прямой, описывается формулой через проекции (расстояния следов в сечающей плоскости) и углы (через синусы); доказательство сводится к подобию прямоугольных треугольников в сечении плоскостью, содержащей $l$.