Краткая структура ответа: (1) главные утверждения, (2) формулы и доказательства в наброске, (3) поведение для невыпуклых и предельный случай круга.
1) Главные утверждения
- Среди всех простых n-угольников с данным периметром $P$ максимальную площадь имеет правильный (равносторонний и равновеликий углами) выпуклый n‑угольник.
- Более общо: для фиксированных длин сторон максимум площади даёт вписанный (циклический) многоугольник; при фиксированном суммарном периметре среди циклических n‑угольников максимум достигается при равных дугах → правильный n‑угольник.
- Среди всех плоских фигур с периметром $P$ максимум площади даёт круг (изопериметрическое неравенство): $4\pi A\le P^2$, равенство только для круга.
2) Формулы и ключевые шаги доказательства (эскиз)
- Площадь правильного n‑угольника через периметр. Пусть $s=P/n$ — длина стороны. Тогда площадь правильного n‑угольника
$$A_{\max }=\frac{n{s}^2}{4\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}=\frac{P^2}{4n}\cot \left(\frac{\pi }{n}\right).$$ Это значение служит верхней границей площади для всех n‑угольников с периметром $P$.
- Лемма 1 (максимум по фиксированным сторонам). Для набора фиксированных сторон $s_1,\dots ,s_n$ площадь простого n‑угольника достигает максимума, когда он вписан в окружность (циклический). Эскиз доказательства: если некоторый четырехугольник-кусок не является вписанным, то можно «поворотом» двух соседних вершин по соответствующей хорде увеличить сумму высот (и, следовательно, площадь) — это стандартный приём «увеличения» площади до вписанного положения; повторяя локальные улучшения, получаем циклический многоугольник.
- Лемма 2 (равенство сторон оптимально). Для циклического n‑угольника стороны связаны с центральными углами ${\theta }_i$ и радиусом $R$: $s_i=2R\sin ({\theta }_i/2)$, $\sum {\theta }_i=2\pi$. Площадь циклического n‑угольника
$$A=\frac{1}{2}{R}^2\sum _{i=1}^n\sin {\theta }_i,$$ а периметр
$$P=2R\sum _{i=1}^n\sin \frac{{\theta }_i}{2}.$$ При фиксированном $P$ и переменных ${\theta }_i$ оптимизация сводится к задаче равномерного распределения углов; из выпуклости/симметрии функций $\sin$ (или по неравенству Йенсена) следует, что при фиксированной сумме ${\theta }_i$ выражение $\sum \sin {\theta }_i$ максимально при ${\theta }_i=2\pi /n$ для всех $i$. Отсюда оптимум достигается при равных сторонах → правильный n‑угольник.
- Предел при $n\to \infty$. Подставляя $\cot (\pi /n)\sim n/\pi$ при большом $n$, получаем
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P^2}{4n}\cot \left(\frac{\pi }{n}\right)=\frac{P^2}{4\pi },$$ что совпадает с максимальной площадью круга по изопериметрическому неравенству:
$$A_{\text{круга}}=\frac{P^2}{4\pi },4\pi A\le P^2.$$
3) Невыпуклые и самопересекающиеся формы — ограничения и поведение
- Невыпуклые простые многоугольники. Невыпуклость даёт меньшую площадь по сравнению с некоторой соответствующей «выпуклой оболочкой». Для заданного периметра можно сделать площадь сколь угодно мало (напр., сделать длинные узкие «шипы» и меж ними очень узкие области) — поэтому снизу нет положительной нижней границы, можно стремиться к нулю. Однако максимума среди всех простых n‑угольников по‑прежнему достигает выпуклый регулярный n‑угольник (см. леммы выше): невыпуклая конфигурация всегда может быть локально «выполнена» наружу так, чтобы увеличить площадь, не увеличивая суммарно периметр (стандартные операции выпукления/удаления «впалых углов»).
- Самопересекающиеся многоугольники. Для самопересечений понятие площади требует аккуратной ориентации; в общем классе замкнутых кривых без требования простоты круг всё равно даёт глобальный максимум площади при фиксированном периметре (изопериметрическая теорема). Конструкции с самопересечением позволяют получить произвольно малую (по модулю) или условно «разнонаправленную» ориентированную площадь, но не превысить изопериметрического предела для общей невырожденной положительной площади.
Короткие выводы
- Для заданного числа сторон n и данного периметра $P$ максимум площади равен
$$A_{\max }=\frac{P^2}{4n}\cot \left(\frac{\pi }{n}\right),$$ и достигается единственным (до симметрии) правильным выпуклым n‑угольником.
- При неограниченном числе сторон предел этого значения при $n\to \infty$ даёт площадь круга $\frac{P^2}{4\pi }$ — это изопериметрическое утверждение.
- Невыпуклые фигуры не дают новых глобальных максимумов; при фиксированном периметре площадь можно сделать сколь угодно малой.