Пусть прямые заданы параметрически
$$L_1:\mathbf{r}=\mathbf{a}+s\mathbf{u},L_2:\mathbf{r}=\mathbf{b}+t\mathbf{v},$$ где $\mathbf{u},\mathbf{v}$ — направляющие векторы, $\mathbf{a}\in L_1,\mathbf{b}\in L_2$. Ищем отрезок $PQ$ с $P\in L_1,Q\in L_2$, такой что он перпендикулярен обеим прямым. Обозначим $\mathbf{w}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$. Тогда условие перпендикулярности даёт
$$\mathbf{q}-\mathbf{p}=(\mathbf{b}+t\mathbf{v})-(\mathbf{a}+s\mathbf{u})=\lambda \mathbf{w}$$ (вектор соединяющий точки должен быть коллинеарен $\mathbf{w}$, поскольку $\mathbf{w}\perp \mathbf{u},\mathbf{w}\perp \mathbf{v}$).
Это векторное уравнение эквивалентно трём скалярным уравнениям для неизвестных $s,t,\lambda$. В случае скрещивающихся прямых $\mathbf{w}\ne 0$ и система имеет единственное решение; чтобы найти $\lambda$ возьмём смешанное (скалярное тройное) произведение с $\mathbf{w}$:
$$(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})+t\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})-s\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\lambda \mathbf{w}\cdot \mathbf{w}.$$ Поскольку $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=0$, получаем
$$\lambda =\frac{(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})}{|\mathbf{u}\times \mathbf{v}{|}^2}.$$ Длина искомого перпендикуляра равна
$$|PQ|=|\lambda ||\mathbf{w}|=\frac{|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})|}{|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|},$$ что есть стандартная формула расстояния между скрещивающимися прямыми.
Выводы:
- Для двух скрещивающихся прямых ($\mathbf{u}\times \mathbf{v}\ne 0$) существует ровно один отрезок, пересекающий обе прямые под углом $90^{\circ }$ (единственная общая перпендикулярная линия).
- Он существует тогда и только тогда, когда заданная длина $d$ равна расстоянию между прямыми, т.е.
$$d=\frac{|(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})|}{|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|}.$$ Если $d$ не равна этой величине, то таких отрезков нет.
(Для полноты: в вырожденном случае $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=0$, т.е. прямые параллельны, существует бесконечно много перпендикуляров одинаковой минимальной длины; но это не случай скрещивающихся прямых.)