Теорема. Любое преобразование Мёбиуса $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, $ad-bc\ne 0$, переводит «обобщённые окружности» (т. е. обычные окружности и прямые) в обобщённые окружности. При этом угол между кривыми сохраняется (конформность, в точках, где $f^{\prime }\ne 0$).
Доказательство (кратко, стандартно). Общую окружность или прямую можно задать уравнением
$$\alpha |z{|}^2+\beta z+\overline{\beta }\overline{z}+\gamma =0,$$ где $\alpha ,\gamma \in \mathbb{R}$, $\beta \in \mathbb{C}$; при $\alpha =0$ это прямая, при $\alpha \ne 0$ — окружность. Пусть $w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$. Тогда обратное преобразование имеет вид
$$z=f^{-1}(w)=\frac{dw-b}{-cw+a}.$$ Подставляя это выражение для $z$ и $\overline{z}$ в уравнение окружности и домножая на подходящую степень знаменателя (скалярную положительную функцию $|-cw+a{|}^2$), получаем уравнение вида
$${\alpha }^{\prime }|w{|}^2+{\beta }^{\prime }w+\overline{{\beta }^{\prime }}\overline{w}+{\gamma }^{\prime }=0$$ с некоторыми ${\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime }\in \mathbb{R}$, ${\beta }^{\prime }\in \mathbb{C}$. Значит образ — снова обобщённая окружность. (Если при домножении все коэффициенты обнулились — вырожденный случай; при обычных условиях этого не происходит.)
Альтернативное пояснение: любое преобразование Мёбиуса представимо как композиция аффинных отображений $z\mapsto az+b$ и инверсии $z\mapsto 1/z$; аффинные отображения переводят прямые и окружности в прямые и окружности, инверсия переводит прямую в окружность и наоборот, следовательно композиция — тоже.
Свойства, вытекающие из теоремы:
- сохраняются касание и углы (конформность);
- преобразование задаётся однозначно выбором образов трёх попарно разных точек;
- кросс-отношение $[z_1,z_2;z_3,z_4]$ инвариантно под действием Мёбиуса; в частности четыре точки концикличны тогда и только тогда, когда их кросс-отношение реально.
Примеры использования в планиметрии.
1) Локус Апполония. Дано $A,B$ (комплексные координаты $z_1,z_2$) и положительное $k$. Множество точек $z$ с $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|}=k$ задаётся условием ∣z−z1z−z2∣=k\left|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}\right|=k z−z2 z−z1 =k. Рассмотрим $w=\frac{z-z_1}{z-z_2}$ (Мёбиус). Условие становится $|w|=k$ — окружность радиуса $k$ с центром в $0$. Тогда обратный образ этой окружности — окружность на плоскости $z$. Таким образом множество — окружность (или прямая при $k=1$), что обычно доказывают и классически, но тут очень просто через Мёбиуса.
2) Приведение окружности к прямой (упрощение задач о пересечениях/касаниях). Если дана окружность $S$ и хочется упростить конфигурацию, можно подобрать Мёбиус, переводящий три точки на $S$ в три действительных числа (например $0,1,\infty$), тогда образ $S$ станет вещественной осью (или прямой). Все задачи о пересечениях с другими окружностями/касательности редуцируются к задачам о прямых и окружностях на действительной оси. Пример применения: доказать, что для четырёх точек условие конкаличности равно реальности кросс-отношения: под действием Мёбиуса три из них переводят в $0,1,\infty$, тогда четвёртая лежит на образе (ось) тогда и только тогда, когда её образ — действительное число, т. е. кросс-отношение реален.
3) Касание и параллельность. Если две окружности касаются в точке $P$, возьмём Мёбиус, переводящий $P$ в $\infty$. Тогда образы окружностей — две прямые; касание в $P$ превращается в параллельность этих прямых. Проверяя параллельность — проще, затем возвращаемся обратно. Это часто применяется для доказательства единственности общей касательной, построения касательных и т. п.
4) Решение конкретной задачи (кратко). Задача: найти геометрическое место точек $X$ таких, что $\angle AXB$ фиксирован. Возьмём Мёбиус, переводящий лучи $AX$ и $BX$ в удобные направления (например так, чтобы образ окружности, проходящей через $A,B$, стала прямой). После приведения задача сводится к углу между прямыми, что легко анализируется; обратный образ даёт дугу окружности (дугу фиксированного угла).
Заключение. Преобразования Мёбиуса — мощный инструмент в планиметрии: они переводят окружности и прямые в окружности и прямые, сохраняют углы и кросс-отношения, что позволяет упростить и свести многие задачи о конгруентности, касательных, пересечениях и локусах к простым случаям (прямые, концентрические окружности, центрированные окружности и т. п.).