Коротко: под аффинным преобразованием все «аффинные» свойства параллелограмма сохраняются (параллельность, коллинеарность, отношения деления отрезков на одной прямой, середины, центр симметрии, отношение площадей — с общим множителем), а метрические свойства (длины, углы, прямые углы, равенство отрезков вне одной прямой) в общем не сохраняются.
Доказательства и пояснения.
1) Модель аффинного преобразования. Любое невырожденное аффинное преобразование представимо как
$T(x)=Mx+b$,
где $M$ — невырожденная $2\times 2$-матрица, $b$ — вектор смещения. Разности точек трансформируются линейно: для любых точек $X,Y$ $T(Y)-T(X)=M(Y-X)$.
2) Параллелограмм и его образ. Пусть параллелограмм задан точкой $P$ и векторами сторон $u,v$; вершины
$P,P+u,P+v,P+u+v$.
Их образы
$T(P),T(P+u)=T(P)+Mu,T(P+v)=T(P)+Mv,T(P+u+v)=T(P)+Mu+Mv$.
Это снова параллелограмм со сторонами $Mu$ и $Mv$. Следовательно: аффинный образ параллелограмма — параллелограмм.
3) Диагонали и их середины. Диагонали исходного параллелограмма соединяют $P$ с $P+u+v$ и $P+u$ с $P+v$. Их середины равны
$\frac{P+(P+u+v)}{2}=P+\frac{u+v}{2}$ и $\frac{(P+u)+(P+v)}{2}=P+\frac{u+v}{2}$ (совпадают).
Под действием $T$ середина переводится в
$T(P+\frac{u+v}{2})=T(P)+M\frac{u+v}{2}=\frac{T(P)+T(P+u+v)}{2}$,
поэтому образы диагоналей также пересекаются и делятся пополам. То есть свойство «диагонали пересекаются в серединах» сохраняется.
4) Отношения деления на одной прямой, коллинеарность, сопряжённости и центр симметрии. Для любой точки $X$ на отрезке $AB$ с параметром $t$: $X=(1-t)A+tB$, имеем
$T(X)=(1-t)T(A)+tT(B)$.
Отсюда сохраняются коллинеарность и любое отношение деления отрезка (включая середину, $t=\frac{1}{2}$). Центр симметрии параллелограмма (точка $O$ с $O=(A+C)/2=(B+D)/2$) переводится в центр симметрии образа.
5) Площади. Площадь параллелограмма, порождённого $u,v$, равна $|\det [uv]|$. Под действием $M$ она умножается на $|\det M|$:
$\mathrm{Area}(T(\text{параллел.}))=|\det M|\cdot \mathrm{Area}(\text{исходн.})$.
Следовательно, отношение площадей двух фигур сохраняется (общий множитель $|\det M|$ для всех фигур).
6) Что теряется. В общем случае не сохраняются:
- длины и их соотношения для отрезков, не лежащих на одной прямой (например, длины диагоналей): длины преобразуются по действию $M$, и обычно меняются неодинаково;
- углы и ортогональность (прямые углы теряются, если $M$ не пропорционален ортогональной матрице);
- принадлежность вписанной/описанной окружности, равенство сторон в общем не сохраняются;
- отношение длин двух негомотетичных направлений в общем не сохраняется.
Итого: аффинное преобразование переводит параллелограмм в параллелограмм, диагонали переходят в диагонали образа и продолжают делить друг друга пополам; сохраняются коллинеарность, отношения деления на одной прямой, параллельность, центр симметрии и относительные площади (с общим множителем). Метрические свойства (длины, углы, ортогональность) в общем не сохраняются.