Формулировка. Пусть вершины тетраэдра — множество $V=\{1,2,3,4\}$. Два вложения $p,q:V\to {\mathbb{R}}^3$ называются сопряжёнными (изометрическими в смысле евклидовой изометрии пространства), если существует евклидова изометрия $T(x)=Rx+t$ (где $R$ — ортогональная матрица, $t$ — вектор переноса) такая, что $q(i)=T(p(i))$ для всех $i\in V$.
Критерий. Вложения $p$ и $q$ сопряжены в ${\mathbb{R}}^3$ тогда и только тогда, когда все попарные расстояния совпадают:
$$\Vert p(i)-p(j)\Vert =\Vert q(i)-q(j)\Vert \text{для всех}i,j\in V.$$
Доказательство (кратко). Необходимость очевидна: евклидова изометрия сохраняет расстояния.
Достаточность. Пусть все попарные расстояния равны. Выберем в $p$ опорную вершину, скажем $1$, и перенесём систему координат так, чтобы $a_1:=p(1)=0$. Обозначим $a_i:=p(i)-p(1)$ для $i=2,3,4$ и аналогично $b_i:=q(i)-q(1)$. По равенству расстояний имеем равенство скалярных произведений:
$$⟨a_i,a_j⟩=\frac{1}{2}(\Vert a_i{\Vert }^2+\Vert a_j{\Vert }^2-\Vert a_i-a_j{\Vert }^2)=\frac{1}{2}(\Vert b_i{\Vert }^2+\Vert b_j{\Vert }^2-\Vert b_i-b_j{\Vert }^2)=⟨b_i,b_j⟩$$ для всех $i,j\in \{2,3,4\}$. То есть матрица Грама трёх векторов $A=[a_2{a}_3{a}_4]$ совпадает с матрицей Грама $B=[b_2{b}_3{b}_4]$:
$$A^{\top }A=B^{\top }B.$$ Если $p$ не вырожден (три вектора линейно независимы), то матрица $B{B}^{\top }$ невырождена и можно задать
$$R=A{B}^{\top }(B{B}^{\top }{)}^{-1}.$$ Проверяется, что $RB=A$ и, пользуясь равенством Грамов, $R$ ортогональна, т.е. $R^{\top }R=I$. Тогда изometry $x\mapsto Rx+p(1)$ переводит все $q(i)$ в соответствующие $p(i)$. Если тетраэдр вырожден (все четыре вершины в одной плоскости или на прямой), доказательство аналогично с заменой размерности базиса. Это доказывает достаточность.
Замечание об ориентации. Если требуется изометрия, сохраняющая ориентацию (то есть вращение, $\det R=+1$), то дополнительно проверяют знак ориентированного объёма тетраэдра. Ориентированный объём (до множителя) можно выразить через детерминант матрицы координат или через детерминант Кэли‑Менгера: квадрат объёма определяется формулой
Vol⁡2=1288det⁡(0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420), \operatorname{Vol}^2=\frac{1}{288}\det\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
1&0&d_{12}^2&d_{13}^2&d_{14}^2\\
1&d_{12}^2&0&d_{23}^2&d_{24}^2\\
1&d_{13}^2&d_{23}^2&0&d_{34}^2\\
1&d_{14}^2&d_{24}^2&d_{34}^2&0
\end{pmatrix},
Vol2=2881 det 01111 10d122 d132 d142 1d122 0d232 d242 1d132 d232 0d342 1d142 d242 d342 0 , где $d_{ij}=\Vert p(i)-p(j)\Vert$. Если модули объёмов совпадают, но знаки ориентированных объёмов противоположны, то существует только ориентационно‑реверсивная изометрия (зеркальное отражение), а не чистое вращение.
Пример из кристаллографии. Сетчатые структуры с тетраэдрическим окружением атома дают типичный пример. Кварц (SiO2) имеет левую и правую формы (энантиоморфы) — кристаллы в группах симметрий $P{3}_{1}21$ и $P{3}_{2}21$. Локальные тетраэдры SiO4 в этих двух формах имеют одинаковые попарные расстояния между атомами (то есть граф рёбер тетраэдра изометричен), но глобально структуры являются зеркальными и не приводимы друг к другу поворотами (требуется отражение). Это иллюстрирует критерий: все расстояния совпадают, потому существует евклидова изометрия, но знак ориентированного объёма различается, поэтому нельзя обойтись только вращением.