Обозначим через $[XYZ]$ ориентированную (signed) площадь треугольника $XYZ$. Пусть
$[PBC]=S_A,[PCA]=S_B,[PAB]=S_C$ и $[ABC]=S$. Тогда:
1) Базовые зависимости
- Сумма площадей равна площади треугольника:
$$S_A+S_B+S_C=S.$$ - Каждая ориентированная площадь пропорциональна ориентированному расстоянию точки $P$ до соответствующей стороны. В частности, для стороны $BC$ $$S_A=\frac{1}{2}|BC|\cdot h_A,$$ где $h_A$ — (ориентированная) высота от $P$ на $BC$. Следовательно множество точек с данным значением $S_A$ — прямая, параллельная $BC$ (для signed — одна, для модулей — две).
- Площади зависят от положения $P$ аффинно (линейно по barycentric): при перемещении $P$ поведение площадей линейно.
2) Условие пропорциональности и существование решения
Пусть заданы числа $a,b,c$ (не все нули) и требуется найти все $P$ такие, что
$$S_A:S_B:S_C=a:b:c.$$ Это означает существование скаляра $\lambda$ с
$$S_A=\lambda a,S_B=\lambda b,S_C=\lambda c.$$ Из суммы следует
$$\lambda =\frac{S}{a+b+c},$$ поэтому решение существует единственно при $a+b+c\ne 0$; конкретно реальные (неориентированные) положительные площади получаются если $a,b,c>0$ (тогда $\lambda >0$ и $P$ лежит внутри треугольника). Если какие‑то из $a,b,c$ нулевые — $P$ лежит на соответствующей стороне; при смешанных знаках — $P$ лежит вне треугольника (используются ориентированные площади). Если $a+b+c=0$ и $S\ne 0$ решения нет.
3) Геометрическое и координатное описание решения
- Барицентрические координаты: точка $P$ однозначно определяется тройкой $(a:b:c)$ и записывается как масса‑центр:
$$P=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},$$ при $a+b+c\ne 0$. В координатах вершин $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$:
$$x=\frac{a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3}{a+b+c},y=\frac{a{y}_1+b{y}_2+c{y}_3}{a+b+c}.$$
- Конструктивно через точки на сторонах (cevians): на $BC$ возьмите точку $X$ такую, что
$$\frac{BX}{XC}=\frac{c}{b},$$ на $CA$ точку $Y$ с $\frac{CY}{YA}=\frac{a}{c}$, на $AB$ точку $Z$ с $\frac{AZ}{ZB}=\frac{b}{a}$. Тогда прямые $AX,BY,CZ$ пересекаются в искомой точке $P$ (теорема Чева).
Итак: для данных пропорций $a:b:c$ существует ровно одна точка $P$ с требуемым соотношением площадей при $a+b+c\ne 0$; положение (внутри/на стороне/снаружи) определяется знаками $a,b,c$.