Рассмотрим три попарно касающиеся окружности $C_1,C_2,C_3$ и инверсию с центром $O$ и радиусом $R$. Общие свойства: инверсия переводит окружности в окружности или прямые, сохраняет углы и касание (если окружность проходит через $O$, её образ — прямая).
Основные случаи и что получается:
1) Центр инверсии совпадает с одной из точек касания, скажем с $T_{12}=C_1\cap C_2$. Тогда $C_1$ и $C_2$ проходят через $O$ и переходят в две прямые $l_1,l_2$. Поскольку $C_1$ и $C_2$ были касательны в $O$ (угол $0$), их образы — две параллельные прямые. Третья окружность $C_3$ не проходит через $O$ и переходит в окружность $C_3^{\prime }$, касающуюся одновременно $l_1$ и $l_2$. Итого: конфигурация превращается в «две параллельные прямые + окружность, вписанную между ними».
2) Центр инверсии лежит на одной окружности, но не в точке её касания с другой. Тогда эта окружность переходит в прямую $l$, две остальные — в окружности, касающиеся друг друга и касающиеся $l$. Итого: «одна прямая + две касающиеся окружности, касающиеся этой прямой».
3) Центр инверсии не лежит ни на одной из трёх окружностей. Тогда каждая окружность переходит в другую окружность, и три образа остаются попарно касающимися. То есть класс взаимно касающихся окружностей сохраняется.
Формулы преобразования для окружности с центром на расстоянии $d$ от $O$ и радиусом $r$:
- расстояние от $O$ до центра образа
d′=R2d∣d2−r2∣, d'=\frac{R^2 d}{\bigl|d^2-r^2\bigr|},
d′= d2−r2 R2d , - радиус образа
r′=R2r∣d2−r2∣. r'=\frac{R^2 r}{\bigl|d^2-r^2\bigr|}.
r′= d2−r2 R2r . Если $d=r$ (окружность проходит через $O$), образ — прямая. Для изогнутости (подписанной кривизны) имеем преобразование кривизны $k=1/r$:
$$k^{\prime }=\frac{d^2-r^2}{R^2}k,$$ знак отражает ориентацию (если $d<r$, ориентация меняется).
Выводы и применение:
- Инверсия не нарушает касательности: три попарно касающиеся окружности всегда переходят в три попарно касающиеся кривые (окружности или прямые).
- Выбор центра позволяет упростить геометрию (напр., перейти к двум параллельным прямым), что часто используется при решении задач на касание (Апполоний, построение систем Содди и т. п.).