Краткий ответ: все середины таких хорд лежат на окружности с диаметром $OP$ (где $O$ — центр заданной окружности, $P$ — фиксированная точка). Фактически достижимые середины — та часть этой окружности, которая лежит внутри исходной окружности (при $OP\le R$ — вся окружность с диаметром $OP$).
Доказательство (векторное, с пояснениями). Пусть центр окружности $O$ в начале координат, радиус $R$, вектор точки $P$ — $\mathbf{p}$. Возьмём прямую через $P$ в направлении единичного вектора $\mathbf{u}$. Пересечения с окружностью даются параметрически $\mathbf{p}+t\mathbf{u}$, где $t$ — корни квадратного уравнения
$$t^2+2(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u})t+(|\mathbf{p}{|}^2-R^2)=0.$$ Если корни $t_1,t_2$ — то параметр середины $t_m=(t_1+t_2)/2=-(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u})$, и соответственно вектор середины
$$\mathbf{m}=\mathbf{p}+t_m\mathbf{u}=\mathbf{p}-(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u})\mathbf{u}.$$ Заметим, что $\mathbf{m}\cdot \mathbf{u}=0$. Тогда
$$\mathbf{m}-\frac{\mathbf{p}}{2}=\frac{\mathbf{m}}{2}-\frac{(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u})}{2}\mathbf{u},$$ и вычисляя норму, пользуясь $\mathbf{m}\cdot \mathbf{u}=0$ и $|\mathbf{m}{|}^2+(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u}{)}^2=|\mathbf{p}{|}^2$, получаем
∣m−p2∣=∣p∣2. \Big|\mathbf m-\frac{\mathbf p}{2}\Big|=\frac{|\mathbf p|}{2}.
m−2p =2∣p∣ . Это означает, что все середины лежат на окружности с центром $\frac{\mathbf{p}}{2}$ и радиусом $\frac{|\mathbf{p}|}{2}$, то есть на окружности с диаметром $OP$.
Условие реальных пересечений даёт дискриминант неотрицательный:
$$(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u}{)}^2\ge |\mathbf{p}{|}^2-R^2\Rightarrow |\mathbf{m}{|}^2=|\mathbf{p}{|}^2-(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u}{)}^2\le R^2.$$ Следовательно реальные середины ещё обязаны удовлетворять $OM\le R$ (лежать внутри исходной окружности). Обратно, любая точка на окружности диаметра $OP$, лежащая внутри или на исходной окружности, даётся некоторой прямой через $P$.
Итог по случаям:
- Если $OP\le R$ (точка $P$ внутри или на окружности), то множество середины — вся окружность с диаметром $OP$.
- Если $OP>R$ (точка $P$ вне окружности), то множество середины — та часть (дуга) окружности с диаметром $OP$, которая лежит внутри исходной окружности; концы дуги соответствуют касательным из $P$.