Пусть треугольник $ABC$ с сторонами $a=BC,b=CA,c=AB$, площадь $S$ и радиус вписанной окружности $r$. Для произвольной внутренней точки $P$ обозначим расстояния до сторон $d_a,d_b,d_c$ (до $BC,CA,AB$ соответственно). Тогда площадь разбивается на три площади малых треугольников:
$$S=\frac{1}{2}(a{d}_a+b{d}_b+c{d}_c).$$ Пусть $M=\max \{a,b,c\}$. Тогда
$$a{d}_a+b{d}_b+c{d}_c\le M(d_a+d_b+d_c),$$ откуда
$$d_a+d_b+d_c\ge \frac{2S}{M}.$$ Поскольку $M\le a+b+c=2s$, имеем
$$\frac{2S}{M}\ge \frac{2S}{a+b+c}=\frac{2rs}{2s}=r.$$ Следовательно
$$d_a+d_b+d_c\ge r.$$
О равенствах: неравенство фактически строгое для любого невырожденного треугольника и любой внутренней точки: так как $M<a+b+c$, получается $2S/M>r$, значит $d_a+d_b+d_c>r$. Равенство возможно лишь в вырожденном случае (когда $r=0$).