Коротко и по существу — три стандартных подхода к теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника $ABCD$:
Требуемое утверждение (неориентированные длины):
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC.$$
1) Синтетическое доказательство (через подобие треугольников).
- Вписанный четырёхугольник: углы, опирающиеся на один и тот же дуговой интервал, равны. Построим точку $E$ на диагонали $AC$ так, чтобы $\angle ABE=\angle CBD$. Тогда треугольники $ABE$ и $CBD$ подобны, откуда
$$\frac{AB}{CB}=\frac{AE}{CD},\frac{BE}{BD}=\frac{AB}{CD}.$$ - Аналогично, рассмотрев точку, дающую подобие для другого набора треугольников, получают соотношения для отрезков вдоль диагоналей; комбинируя эти пропорции (складывая выражения для частей диагонали $AC$) и переходя к общим длинам, получаем требуемую равенство Птолемея.
(Это классическая конструктивная схема: подбор точки по равенству углов даёт подобие, из подобия — пропорции частей диагонали, после алгебраического сложения — формула Птолемея.)
2) Доказательство через комплексные числа (параметризация окружности).
- Поместим окружность в комплексной плоскости как единичную: вершины соответствуют числам $a=e^{i\alpha },b=e^{i\beta },c=e^{i\gamma },d=e^{i\delta }$. Тогда длина хорды задаётся формулой
∣a−b∣=∣eiα−eiβ∣=2∣sin⁡α−β2∣. |a-b|=|e^{i\alpha}-e^{i\beta}|=2\Big|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\Big|.
∣a−b∣=∣eiα−eiβ∣=2 sin2α−β . - Подставляя все четыре хорды в требуемое соотношение, сокращая общий множитель $4$ (или общий множитель $2R$, если окружность радиуса $R$), сводим Птолемея к тождеству для синусов:
$$\sin \frac{\alpha -\gamma }{2}\sin \frac{\beta -\delta }{2}=\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\sin \frac{\gamma -\delta }{2}+\sin \frac{\beta -\gamma }{2}\sin \frac{\delta -\alpha }{2}.$$ - Это тождество проверяется стандартными формулами произведения синусов через сумму косинусов (формула произведения в сумму) и для любых $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ даёт ноль при приведении — отсюда Птолемей. Таким образом комплексный (фазовый) подход сводится к простому тригонометрическому тождеству.
3) Координатный / тригонометрический метод (через радиус и закон синусов).
- Если окружность радиуса $R$, то для хорд справедливо
$$AB=2R\sin \angle AOB/2,\text{и т.д.}$$ (или короче $AB=2R\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$, как в комплексном доказательстве). Подставив в формулу Птолемея, сократив общий $4R^2$, опять получаем то же тригонометрическое тождество для синусов, которое легко приводится к равенству нулю с помощью формул приведения и произведения в сумму.
- Можно также дать чисто координатное вычисление: задать параметризацию точек окружности $A(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ и т.д., выписать квадрат длины каждой хорды через скалярное произведение и после алгебраических преобразований получить ту же тождественность.
Заключение: все три подхода эквивалентны по смыслу: синтетический использует геометрические подобия (чисто «евклидов»), комплексный удобно формулируется через экспоненты на единичной окружности, а координатный/тригонометрический даёт прямую проверку через формулы для хорд $2R\sin (\cdot /2)$. Во всех случаях конечный шаг — проверка несложного тригонометрического тождества, которое и эквивалентно формуле Птолемея.