Общая стратегия для задач «максимальная/минимальная площадь при заданных ограничениях»:
1. Понять геометрию и симметрии. Выяснить, можно ли считать оптимальную фигуру симметричной (уменьшает число параметров).
2. Параметризовать фигуру минимальным числом переменных $x_1,\dots ,x_n$ (координаты, углы, длины). Записать площадь $S$ через эти параметры: $S=S(x_1,\dots ,x_n)$.
3. Записать ограничения (границы допустимого множества): равенства и неравенства. При необходимости заменить ограничение явной подстановкой, чтобы получить функцию одной или нескольких переменных, либо использовать множитель Лагранжа.
4. Исследовать область определения: она должна быть компактной (или проверить поведение на границе). Тогда максимум/минимум достигается либо в критических точках внутренней части, либо на границе.
5. Найти критические точки: решать $\nabla S=0$ (или использовать производную для функции одной переменной) и дополнительно проверять условия второго порядка/выпуклости.
6. Анализ границы: исследовать граничные варианты (параметры в краях допустимого диапазона).
7. Сравнить кандидатов (внутренние критические точки и граничные) и выбрать оптимум. Проверить смысл геометрически (симметрия, вырожденные случаи).
8. При сложных ограничениях использовать: замены (аффинные преобразования), неравенства (AM–GM, неравенство Коши), метод Лагранжа, симметризацию, преобразование типа «развернуть/отразить».
Примеры:
1) Наибольший прямоугольник, вписанный в круг радиуса $R$.
- Симметрия: можно считать прямоугольник со сторонами $2x$ и $2y$ симметричным относительно центра.
- Ограничение: точка $(x,y)$ лежит на окружности: $x^2+y^2=R^2$.
- Площадь: $S=4xy$. Подставляя $y=\sqrt{R^2-x^2}$ получаем $S(x)=4x\sqrt{R^2-x^2}$.
- Критическая точка: $S^{\prime }(x)=0$ даёт $x=y=\frac{R}{\sqrt{2}}$.
- Ответ: оптимум — квадрат со стороной $\sqrt{2}R$, площадь $S_{\max }=2R^2$.
2) Максимальная площадь прямоугольника, вписанного в треугольник с основанием $b$ и высотой $h$, с одной стороной на основании.
- Параметр: высота прямоугольника $y$ ($0\le y\le h$). По подобию ширина равна $b\left(1-\frac{y}{h}\right)$.
- Площадь: $S(y)=b\left(1-\frac{y}{h}\right)y=by-\frac{b}{h}{y}^2$.
- Максимум при $y=\frac{h}{2}$. Площадь $S_{\max }=\frac{bh}{4}$.
- Так как площадь треугольника $=\frac{bh}{2}$, получаем $S_{\max }=\frac{1}{2}$ площади треугольника.
3) Наибольший прямоугольник, вписанный в эллипс $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, стороны параллельны осям.
- Параметр: вершина в первой четверти $(x,y)$ с условием $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
- Площадь: $S=4xy$. Подставим ограничение: максимизируем $S$ при данном соотношении (можно через Лагранжа или подстановку).
- Решение даёт $x=\frac{a}{\sqrt{2}},y=\frac{b}{\sqrt{2}}$.
- Площадь $S_{\max }=4\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{b}{\sqrt{2}}=2ab$.
Короткие замечания: часто полезны аффинные преобразования (перевод задачи для эллипса в окружность), симметризация и замена переменных, а также проверка граничных вырожденных случаев (например, одна сторона стремится к нулю).