Кратко сформулируем цель: для A‑симедианы $AK$ треугольника $ABC$ доказать стандартное соотношение
$$\frac{BK}{KC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}(\text{здесь}AB=c,AC=b,\text{т.е.}=c^2/b^2).$$
Далее — сравнительный анализ трёх подходов (идеи, ключевые формулы, сильные и слабые стороны).
1) Алгебраический (координатный)
- Идея: задать координаты вершин и явно решить систему уравнений для прямой $AK$ и точки пересечения с $BC$.
- Удобные варианты:
- Барицентрические/тринейные координаты: середина $M$ стороны $BC$ имеет вид $(0:1:1)$; при изогона‑преобразовании (симметрии относительно биссектрисы) координаты множатся весами $a^2,b^2,c^2$, поэтому образ $M$ — точка на $BC$ с координатами $(0:b^2:c^2)$, откуда сразу следует $\frac{BK}{KC}=\frac{c^2}{b^2}$.
- Декартовы координаты: положим $B(0,0),C(1,0),A(x,y)$, выпишем уравнения прямых и найдём пересечение; после алгебраических упрощений получаем тот же результат.
- Ключевая формула (барицентр.): Lemoine (центр симедиан) имеет координаты
$$(a^2:b^2:c^2).$$ - Плюсы: даёт явные формулы и легко переносится на вычисления/символическую проверку; удобен для обобщений (координатная геометрия, аналитика).
- Минусы: громоздкие выкладки в декартовых координатах; теряется геометрическая интуиция.
2) Векторный (метод векторов/скалярных и векторных произведений)
- Идея: представить точки как векторы $a,b,c$; точку $K$ на $BC$ взять параметрически $k=(1-t)b+tc$. Ввести $u=b-a,v=c-a$.
- Ключевый ход: выразить величины, пропорциональные $\sin \angle BAK$ и $\sin \angle KAC$, через векторное (в 2D — псевдовекторное) произведение:
$$\sin \angle BAK\propto |u\times (k-a)|,\sin \angle KAC\propto |v\times (k-a)|.$$ Подставляя $k-a=(1-t)u+tv$ и упрощая, получаем линейное уравнение для $t$, которое даёт
$$\frac{t}{1-t}=\frac{|u{|}^2}{|v{|}^2}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2},$$ откуда $\frac{BK}{KC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$.
- Плюсы: сохраняет алгебраическую строгость, но компактнее и ближе к геометрии (через скалярные/векторные произведения); удобен в векторных обобщениях и в аналитике двумерных преобразований.
- Минусы: требует работы с векторными произведениями/проекциями; менее «чисто» геометричен, но чище, чем грубая декартова алгебра.
3) Синтетический (тригонометрический / классический геометрический)
- Наиболее короткий и наглядный трюк (тригонометрический):
- По теореме синусов в треугольниках $ABK$ и $ACK$:
$$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\sin \angle BAK}{\sin \angle KAC}.$$ - Характеризация симедианы: для симедианы $AK$ выполняется
$$\frac{\sin \angle BAK}{\sin \angle KAC}=\frac{AB}{AC}.$$ (Это следствие определения как изогона медианы/свойств касательных к окружности и т.п.)
- Сочетая, получаем
$$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AB}{AC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}.$$ - Альтернативная синтетика: доказать через свойства касательных к описанной окружности (симедиана — образ медианы при изогона‑отражении; через подобие треугольников с касательной получается то же соотношение).
- Плюсы: очень короткое, даёт ясную геометрическую интерпретацию (связь углов и длин); лёгко запомнить и применять в задачах на олимпиадах.
- Минусы: использует тригонометрию или свойства окружности/касательной, что в некоторых контекстах может считаться «менее алгебраическим» доказательством; требует знания характеризации симедианы (или дополнительного доказательства этого свойства).
Сравнительная сводка
- Интуиция и компактность: синтетический (тригонометрический) — самый короткий и объясняющий.
- Явные формулы / вычисления: координатный (особенно ба­рицентрический) — лучший для вычислений и обобщений.
- Баланс чистоты и компактности: векторный — компромисс, даёт аккуратные вычисления с геометрическим содержанием.
- Выбор метода зависит от задачи: для доказательства свойств и быстрого вывода формул — синтетика/тригонометрия; для построения явных координат/алгоритмов — координаты; для обобщений на векторные пространства или симметричные преобразования — векторы.
(Дополнение: центр симедиан — точка Лемойна — в ба­рицентрических координатах равен $(a^2:b^2:c^2)$, что удобно в алгебраических доказательствах.)