Кратко: все центры таких окружностей лежат на двух биссектрисах угла, образованного данными прямыми (внутренней и внешней). На каждой биссектрисе находится не более двух центров, поэтому геометрическое место — не кривая, а не более четырёх точек (0…4), решения квадратного уравнения. Ниже — вывод и алгебраическая форма.
Доказательство/вывод. Пусть прямые пересекаются в точке $O$ и угол между ними равен $2\alpha$. Центр $X$ окружности, касающейся обеих прямых, обязан иметь равные расстояния до этих прямых, значит $X$ лежит на одной из биссектрис (внутренней или внешней). Положим систему координат с началом в $O$ так, что одна биссектриса — ось $Ox$, а прямые симметричны относительно $Ox$ и имеют направления под углами $\pm \alpha$.
Пусть фиксированная точка $P$ имеет координаты $(p_x,p_y)$. Рассмотрим центр $X=(t,0)$ на оси $Ox$. Расстояние от $X$ до одной из прямых равно
$$d(X,\text{прямая})=|t|\sin \alpha .$$ Условие, что окружность радиуса $r$ с центром $X$ проходит через $P$ и при этом $r=d(X,\text{прямая})$, даёт уравнение
$$(t-p_x{)}^2+p_y^2=(t\sin \alpha {)}^2.$$ После приведения
$${\cos }^2\alpha t^2-2p_{x}t+(p_x^2+p_y^2)=0.$$ Это квадратное уравнение по $t$, поэтому на данной биссектрисе может быть 0, 1 (кратный корень) или 2 допустимых значений $t$ (центра). Аналогичное уравнение получается для другой биссектрисы (при замене координат соответствующим образом).
Выводы:
- геометрическое место центров = (подмножество) двух биссектрис;
- на каждой биссектрисе центров не более двух (всего не более четырёх);
- вырождённый случай (кратный корень дискриминанта) даёт один центр на биссектрисе; отсутствие корней — ни одного; специальные положения $P$ (например, совпадение с точкой пересечения прямых) требуют отдельного рассмотрения.