Кратко: плоскость симметрии правильной призмы — это либо вертикальная плоскость, содержащая ось призмы и одну из осей симметрии правильного n‑угольника основания, либо (при конечной призме) горизонтальная середняя плоскость. Следовательно плоскость симметрии, проходящая через заданную точку $P$ вне призмы, существует тогда и только тогда, когда $P$ лежит на одной из этих плоскостей.
Более формально (координатный вариант, для правой призмы с основаниями в плоскостях $z=0$ и $z=h$ и центром основания в начале координат):
- обозначим проекцию $P$ на основание через $p=(x,y,0)$ и высоту $z_P$;
- вертикальные плоскости симметрии заданы линиями через центр с углами
${\theta }_k=\frac{2\pi k}{n}$ (и при чётном $n$ дополнительно через ${\theta }_k+\frac{\pi }{n}$); условие для вертикальной плоскости:
$$p=t(\cos \theta ,\sin \theta )\text{для некоторого}t\in \mathbb{R}$$ то есть проекция $p$ лежит на одной из осей симметрии основания; тогда любая точка $P$ с любой высотой $z_P$ принадлежит соответствующей вертикальной плоскости симметрии.
- горизонтальная средняя плоскость симметрии существует и даёт отражение верхнего и нижнего основания; условие для неё:
$$z_P=\frac{h}{2},$$ при этом проекция $p$ может быть произвольной.
Особые случаи:
- если $p=(0,0,0)$ (то есть $P$ лежит на оси призмы), то $P$ принадлежит всем вертикальным плоскостям симметрии;
- если требуется, чтобы плоскость симметрии проходила именно через заданную грань (например, через конкретное боковое ребро или её середину), нужно добавить условие совпадения её пересечения с гранью с этим требованием (это сводится к тому же условию на проекцию $p$ на основание с учётом положения грани).