Установим центр многогранника в начале координат $O$. Пусть $v$ — радиус-вектор вершины $V$. Обозначим через $F$ «противоположную» грань так, что её центр $C$ лежит на луче, противоположном $v$ (это корректно для правильных тел и для полуправильных тел благодаря дуальности: центры граней образуют вершины двойственного телa, которое у правильных тел снова правильно, а у полуправильных — изогедрально). Тогда существует $t>0$ такое, что
$$c=-tv.$$
Плоскость грани $F$ нормальна к направлению $v$ и имеет уравнение
$$⟨x,v⟩=d,d=⟨c,v⟩=-t\Vert v{\Vert }^2.$$ Ортогональная проекция вершины $v$ на эту плоскость равна
$$p=v-\frac{⟨v,v⟩-d}{\Vert v{\Vert }^2}v.$$ Подставляя $d$, получаем
$$⟨v,v⟩-d=\Vert v{\Vert }^2-(-t\Vert v{\Vert }^2)=(1+t)\Vert v{\Vert }^2,$$ и поэтому
$$p=v-(1+t)v=-tv=c.$$ Таким образом ортогональная проекция вершины совпадает с центром грани $C$. Поскольку грань правильного (или полуправильного) тела — правильный правильный многоугольник, его центр грани одновременно является центром описанной окружности этой грани, и значит проекция лежит в центре описанной окружности.
Обобщение для полуправильных (Арчимедовых) тел: у полуправильных тел все вершины эквивален­тны относительно группы симметрий, а центры граней образуют вершины двойственного (каталанова) тела, которое изогедрально. Поэтому для каждой вершины существует грань с центром на луче, противоположном радиус-вектору вершины, и предыдущий векторный вывод остаётся в силе; проекция вершины на такую грань даёт её центр (и, так как грани состоят из правильных многоугольников, — их описанный центр).