Кратко: Евклид давал набор неригорозных постулатов и использовал в доказательствах множественные неформальные допущения (о порядке точек, пересечениях, переносе фигур и т.д.). Гильберт перестроил основания геометрии в виде формальной системы с пяти группами аксиом (инцидентности, порядка, конгруэнции, параллельности, непрерывности). При переходе меняются не сами «истинные» геометрические утверждения о классической евклидовой плоскости, а те утверждения и доказательства, которые в евклидовой книге опирались на неявные допущения — они либо перестают быть доказанными, либо получают новые аксиомы в системе Гильберта. Конкретнее:
1) Примитивы и точность
- Евклид: точки, прямые, окружности, описанные интуитивно; многие свойства не сформулированы как аксиомы.
- Гильберт: чёткие примитивы и явно сформулированные аксиомы инцидентности.
Следствие: утверждения о единственности прямой через две точки записаны как аксиомы (инцидентность), тогда как у Евклида это было просто постулатом/интуицией.
2) Порядок и Пасх
- Гильберт вводит аксиомы порядка (betweenness) и отдельную аксиому Пашa (Pasch), гарантирующую предсказуемое поведение пересечения прямой с треугольником.
- Евклид не формулировал Пасха; вследствие этого некоторые утверждения об относительном расположении точек и о пересечениях, которые Евклид доказывает неявно, в строгой системе требуют дополняющей аксиомы.
Пример: утверждения о том, что прямая, входящая в одну сторону через сторону треугольника, обязательно пересечёт ещё одну сторону, в системе Гильберта вытекают из аксиомы Пашa; в Евклиде это было подразумеваемо.
3) Конгруэнция и суперпозиция
- Евклид доказывает равенство треугольников методом суперпозиции (наложения), что не является формальной операцией.
- Гильберт заменяет суперпозицию системой аксиом конгруэнции (включая аналог SAS как аксиому или следствие аксиом конгруэнции).
Следствие: теорема Евклида I.4 (SAS) в формализме Гильберта не доказывается наложением, а выводится из аксиом конгруэнции (или принимается как аксиома). То есть способ обоснования меняется — теорема либо аксиоматизирована, либо доказывается иначе.
4) Параллельный постулат
- Евклид: пятый постулат в форме «если при пересечении двух прямых сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся».
- Гильберт обычно включает эквивалентную формулу (часто Playfair): $\text{через точку вне данной прямой проходит не более одной прямой, не пересекающая данную}$.
Следствие: формулировка различна, но в контексте остальных аксиом эквивалентна; однако при неподобающем выборе остальных аксиом одна форма может требовать дополнительных доводов.
5) Непрерывность (архимедова и полнота)
- Евклид не формулировал аксиомы непрерывности (нет аксиом, эквивалентных полноте действительных чисел).
- Гильберт вводит аксиому Архимеда и аксиому полноты/Дедеканда (континуитет).
Следствие: в системах без аксиомы непрерывности существуют модели «евклидовой» геометрии над упорядоченными полями, не изоморфные обычной евклидовой плоскости над $\mathbb{R}$. Поэтому утверждения, требующие полноты (например, существование точек, соответствующих пределам последовательностей или определённые конструкции с бесконечным процессом), в формальном аппарате Гильберта зависят от аксиомы непрерывности.
Итого — какие геометрические утверждения меняются
- Доказательная опора: многие теоремы, доказанные Евклидом с неявными допущениями (пересечения окружностей, поведение линий в треугольнике, SAS через суперпозицию), в строгой теории требуют новых аксиом или дают иные доказательства.
- Экзистенциальные утверждения о построениях: теперь надо явно аксиоматизировать существование точек при пересечении фигур, переносе отрезков и т.п.
- Утверждения о «пустотах/полноте» (непрерывность) — в Евклиде не гарантированы формально, в Гильберте могут быть обеспечены или опущены в зависимости от включения аксиомы непрерывности.
Короткое резюме: Гильберт не «меняет» геометрию Евклида как интуитивную теорию, но выявляет и устраняет её неявные аксиомы: те утверждения, которые в Евклиде были подразумеваемы, в системе Гильберта либо формулируются явно (инцидентность, порядок, конгруэнция, Пасх), либо остаются независимыми до включения аксиомы непрерывности.