Пусть фиксированные точки $A,B$ заданы векторами $\mathbf{A},\mathbf{B}$, переменная точка — $\mathbf{P}$. Условие
$$|\mathbf{P}-\mathbf{A}{|}^2-|\mathbf{P}-\mathbf{B}{|}^2=k$$ раскрываем через скалярные произведения:
$$(\mathbf{P}\cdot \mathbf{P}-2\mathbf{P}\cdot \mathbf{A}+|\mathbf{A}{|}^2)-(\mathbf{P}\cdot \mathbf{P}-2\mathbf{P}\cdot \mathbf{B}+|\mathbf{B}{|}^2)=k,$$ откуда
$$2(\mathbf{B}-\mathbf{A})\cdot \mathbf{P}+|\mathbf{A}{|}^2-|\mathbf{B}{|}^2=k.$$ Это линейное уравнение относительно $\mathbf{P}$, которое задаёт прямую:
$$(\mathbf{B}-\mathbf{A})\cdot \mathbf{P}=\frac{k+|\mathbf{B}{|}^2-|\mathbf{A}{|}^2}{2}.$$
Покажем геометрическую интерпретацию. Обозначим середину $\mathbf{M}=\frac{\mathbf{A}+\mathbf{B}}{2}$ и единичный вектор от $A$ к $B$: $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{B}-\mathbf{A}}{|\mathbf{B}-\mathbf{A}|}$. Так как
$$(\mathbf{B}-\mathbf{A})\cdot \mathbf{M}=\frac{|\mathbf{B}{|}^2-|\mathbf{A}{|}^2}{2},$$ уравнение эквивалентно
$$(\mathbf{B}-\mathbf{A})\cdot (\mathbf{P}-\mathbf{M})=\frac{k}{2},$$ или в проекционной форме
$$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{P}-\mathbf{M})=\frac{k}{2|\mathbf{B}-\mathbf{A}|}.$$ Значит, искомая геометрическая место точек — прямая, перпендикулярная отрезку $AB$, проходящая на (ориентированном) расстоянии
$$s=\frac{k}{2|AB|}$$ от середины $M$ в направлении от $A$ к $B$. Специальные случаи:
- если $k=0$, получается серединный перпендикуляр (перпендикуляр биссектрисы отрезка $AB$);
- если $\mathbf{A}=\mathbf{B}$, то при $k=0$ вся плоскость является решением, а при $k\ne 0$ решений нет.
Таким образом, для любых двух различных точек $A,B$ множество точек с постоянной разностью квадратов расстояний до $A$ и $B$ — это прямая, перпендикулярная $AB$, смещённая от середины на величину $s=\frac{k}{2|AB|}$.