Обозначения. Пусть ABCD — невырожденный выпуклый четырёхугольник, P — внутренняя точка. Через $d_{AB},d_{BC},d_{CD},d_{DA}$ обозначим (перпендикулярные) расстояния от точки $P$ до прямых, содержащих стороны $AB,BC,CD,DA$ соответственно. Будем интересоваться суммами $S_1=d_{AB}+d_{CD}$ и $S_2=d_{BC}+d_{DA}$ (суммы расстояний до пар противоположных сторон).
1) Формула площади (базовый факт).
Разобьём четырёхугольник на четыре треугольника $PAB,PBC,PCD,PDA$. Тогда
$$[ABCD]=[PAB]+[PBC]+[PCD]+[PDA]=\frac{1}{2}(AB\cdot d_{AB}+BC\cdot d_{BC}+CD\cdot d_{CD}+DA\cdot d_{DA}).$$ Отсюда для любой внутренней точки $P$ справедливо
$$AB\cdot d_{AB}+BC\cdot d_{BC}+CD\cdot d_{CD}+DA\cdot d_{DA}=2[ABCD],$$ где $[ABCD]$ — площадь четырёхугольника (константа, не зависящая от $P$).
2) О взаимосвязи с вписанными окружностями.
- Если четырёхугольник вписан вокруг окружности (т. е. имеет вписанную окружность, он называется вписанным/описанным вокруг круга, или tangential), то существует точка $I$ (центр вписанной окружности) и радиус $r$ такие, что расстояния от $I$ до всех четырёх сторон равны: $d_{AB}=d_{BC}=d_{CD}=d_{DA}=r$. Следовательно
$$S_1(I)=d_{AB}+d_{CD}=2r,S_2(I)=d_{BC}+d_{DA}=2r,$$ и в частности для такой $P=I$ имеет место равенство $S_1=S_2$. Иначе говоря: наличие вписанной окружности даёт точку $P$ с равными суммами расстояний до противоположных сторон (и даже с равными самими расстояниями).
- Обратное утверждение в сильной форме: если существует точка $P$ такая, что
$$d_{AB}=d_{BC}=d_{CD}=d_{DA},$$ то четырёхугольник обязательно имеет вписанную окружность (центр — $P$, радиус — это общее расстояние). Но условие равенства только сумм $S_1=S_2$ в общем случае не достаточно, чтобы гарантировать существование вписанной окружности: равенство сумм — слабее (оно не даёт равенства отдельных расстояний).
3) Поведение сумм $S_1,S_2$ как функций точки $P$, частные случаи.
- Функции $d_{AB},\dots$ (а значит и $S_1,S_2$) зависят от координат $P$ аффинно (линейно плюс константа). Отсюда $F(P):=S_1-S_2$ — аффинная функция на плоскости. В частности если $F$ тождественно равна нулю на непустой открытой области, то $F\equiv 0$ на всей плоскости.
- Если стороны $AB$ и $CD$ параллельны, то для любой точки $P$ сумма $d_{AB}+d_{CD}$ постоянна и равна расстоянию между прямыми $AB$ и $CD$. Аналогично для пары $BC$ и $DA$. Поэтому:
- для параллелограмма обе суммы постоянны; их разность тоже постоянна.
- в частном случае квадрата (параллельные пары и равные расстояния между парами) получаем $S_1\equiv S_2$ для всех $P$. То есть квадрат — пример четырёхугольника, для которого равенство сумм верно для любой точки внутри.
4) Что можно и чего нельзя вывести из равенства сумм.
- Следствия, которые верны:
a) Если четырёхугольник имеет вписанную окружность, то существует внутренняя точка $P$ (центр круга) с $S_1=S_2$.
b) Если для всех внутренних точек $P$ выполняется $S_1=S_2$, то функция $F\equiv 0$. Это даёт существенные геометрические ограничения: в частности противоположные стороны должны образовывать пары параллельных прямых, и расстояния между этими парами равны; в итоге такой четырёхугольник вынужденно «симметричен» (в частности квадрат входит в этот класс). (Короткая схема доказательства: $F$ аффинна; если тождественно ноль, то её значения в вершинах равны нулю, что даёт равенства расстояний между соответствующими парами прямых, откуда следует параллельность и равенство межпарных расстояний.)
- Ограничения: наличие точки $P$ с $S_1=S_2$ само по себе не эквивалентно существованию вписанной окружности. Равенство сумм — лишь одно условие (одно линейное уравнение относительно расстояний); равенство всех четырёх расстояний — это три независимых уравнения, гораздо более жёсткое. Поэтому из $S_1=S_2$ нельзя в общем вывести, что $d_{AB}=d_{BC}=d_{CD}=d_{DA}$.
Итог (кратко). Основная общая формула — связь площадей
$$AB\cdot d_{AB}+BC\cdot d_{BC}+CD\cdot d_{CD}+DA\cdot d_{DA}=2[ABCD].$$ Вписанная окружность ⇔ существует точка, равновысотная до всех четырёх сторон (тогда $S_1=S_2$ на этой точке). Обратное неверно: равенство сумм для одной точки не гарантирует вписанную окружность; равенство сумм для всех точек даёт сильные симметрические требования на четырёхугольник (в частности квадрат удовлетворяет).