В евклидовом пространстве прямая и плоскость могут располагаться тремя взаимно исключающимися способами:
1) прямая лежит в плоскости;
2) прямая пересекает плоскость в одной точке;
3) прямая параллельна плоскости и не пересекает её.
Дадим аналитическую формулировку и докажем классификацию. Пусть плоскость задана нормальным вектором $n\ne 0$ и точкой $Q$:
$$\Pi =\{X\in {\mathbb{R}}^3:n\cdot (X-Q)=0\},$$ а прямая задана параметрически точкой $P$ и направляющим вектором $d\ne 0$:
$$\ell =\{X=P+td:t\in \mathbb{R}\}.$$
Рассмотрим скалярное произведение $n\cdot d$.
А) Если $n\cdot d=0$. Тогда для любой точки $X=P+td$ на прямой
$$n\cdot (X-Q)=n\cdot (P-Q)+tn\cdot d=n\cdot (P-Q).$$ - Если $n\cdot (P-Q)=0$, то $n\cdot (X-Q)=0$ для всех $t$, значит $\ell \subset \Pi$ (прямая лежит в плоскости).
- Если $n\cdot (P-Q)\ne 0$, то $n\cdot (X-Q)\ne 0$ для всех $t$, значит у прямой нет точек в плоскости ($\ell$ параллельна $\Pi$ и не пересекает её).
Б) Если $n\cdot d\ne 0$. Тогда уравнение пересечения
$$n\cdot (P+td-Q)=0$$ даёт единственное решение для $t$:
$$t=\frac{n\cdot (Q-P)}{n\cdot d},$$ следовательно прямая пересекает плоскость в единственной точке $P+td$.
Особый случай — перпендикулярность: прямая $\ell$ перпендикулярна плоскости $\Pi$ тогда и только тогда, когда её направляющий вектор коллинеарен нормали $n$, т.е. $d=\lambda n$ для некоторого $\lambda \ne 0$. В этом случае $n\cdot d\ne 0$ и, следовательно, $\ell$ пересекает $\Pi$ в одной точке и делает с ней прямой угол.
Таким образом все возможные взаимные расположения перечислены и характеризованы условием на $n\cdot d$ и значение $n\cdot (P-Q)$.