Постройка. Через каждую вершину $A,B,C$ описанной окружности проводим касательную; попарные пересечения этих трёх касательных обозначим $A_1,B_1,C_1$, где $A_1$ — пересечение касательных в $B$ и $C$, $B_1$ — в $C$ и $A$, $C_1$ — в $A$ и $B$. Получили треугольник касательных $A_1{B}_1{C}_1$. Обозначим центр описанной окружности $O$ и радиус $R$; углы исходного треугольника $A,B,C$.
1) Окружность $(O,R)$ — вписанная в $A_1{B}_1{C}_1$.
Доказательство: каждая из трёх сторон $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1$ — касательная к окружности $(O)$ (по построению), поэтому окружность касается всех трёх сторон треугольника $A_1{B}_1{C}_1$. Следовательно $O$ — его центр вписанной окружности.
2) Углы треугольника касательных.
Если угол при вершине $A$ в исходном треугольнике равен $A$, то внутренний угол треугольника касательных напротив этой вершины равен
$$\pi -2A.$$ Аналогично остальные: углы $A_1,B_1,C_1$ равны $\pi -2A,\pi -2B,\pi -2C$. (Причина: угол между радиусами $OA$ и $OB$ равен $2\angle C$; угол между касательными в $A$ и $B$ — тот же $2\angle C$, а внутренний угол треугольника, содержащий окружность, является дополняющим, т.е. $\pi -2C$.)
3) Лучи $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ — симмедианы треугольника $ABC$; они пересекаются в точке Лемона (симмедиональной точке) $K$.
Краткое доказательство: рассмотрим пересечение $K=A{A}_1\cap BC$. По теореме о касательной и хорде углы, которые дают касательные в $B$ и $C$, дают равенства углов, из которых с помощью синусов и теоремы синусов для треугольников $ABK$ и $ACK$ получаем
$$\frac{BK}{KC}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2},$$ что является характерным признаком A-симмедианы. Повторяем для других вершин — получаем общую точку пересечения симмедиан (точка Лемона).
4) Длины сторон треугольника касательных (зависимость от $ABC$).
Пусть стороны исходного треугольника $a=BC,b=CA,c=AB$. Тогда длины сторон треугольника касательных выражаются через радиус $R$ и углы $A,B,C$ так:
$$\text{сторона между касательными в}A\text{и}B=R(\tan A+\tan B),$$ и циклически:
$$a_1=R(\tan B+\tan C),b_1=R(\tan C+\tan A),c_1=R(\tan A+\tan B).$$ (Это следует из общего факта: для треугольника с радиусом вписанной окружности $r$ и соседними углами $\alpha ,\beta$ длина смежной стороны равна $r(\cot (\alpha /2)+\cot (\beta /2))$; подставляя $\alpha =\pi -2A$ и т.д., получаем $\cot (\frac{\pi -2A}{2})=\tan A$, и $r=R$.)
Можно также записать через стороны $a,b,c$ и площадь $\Delta$ (или через $R$, так как $\Delta =abc/(4R)$). Например
$$\tan A=\frac{4\Delta }{b^2+c^2-a^2},$$ откуда, умножив на $R$,
$$R\tan A=\frac{abc}{b^2+c^2-a^2},$$ и, следовательно,
$$c_1=R(\tan A+\tan B)=\frac{abc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{abc}{c^2+a^2-b^2},$$ что даёт явную формулу через $a,b,c$.
5) Следствия и замечания о зависимостях.
- При фиксированном $R$ длины сторон треугольника касательных зависят монотонно от углов $A,B,C$ через функции $\tan$. При приближении какого-то угла к $\frac{\pi }{2}$ соответствующие стороны треугольника касательных растут (тангенс стремится к бесконечности).
- Так как окружность $(O)$ — вписанная в $A_1{B}_1{C}_1$, центр $O$ является инцентром треугольника касательных, а симмедианная точка $K$ треугольника $ABC$ — центр перспективности между $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ (т.е. $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ — соответственные объединяющие прямые).
Короткая сводка:
- Окружность $(O)$ — вписанная в треугольник касательных.
- Углы: $\angle A_1=\pi -2A,\angle B_1=\pi -2B,\angle C_1=\pi -2C.$
- Лучи $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ — симмедианы исходного треугольника, они пересекаются в точке Лемона.
- Стороны треугольника касательных: $a_1=R(\tan B+\tan C)$ и циклически; также даются формулами через $a,b,c$ и $\Delta$.
Если нужно, могу дать подробные пошаговые доказательства любого отдельного пункта (например, полный тригонометрический вывод для симмедиан или детализацию формулы для длин сторон).